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拉普拉斯展开式,矩阵的拉普拉斯展开公式怎么写？

admin admin 发表于2024-03-27 04:11:37 浏览21 评论0

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拉普拉斯展开公式

拉普拉斯定理：在n阶方阵 A=（a_{ij}) 中任取k行，则这k行所有的k阶子式与它们自己的代数余子式的乘积之和等于 |A|。
k阶子式和其余子式的定义：设 A=(a_{ij}) 是n阶方阵从方阵A中划去第 i_1,i_2,···,i_k 行（i_1则称 (-1)^{i_1+i_2+···+i_k+j_1+j_2+···+j_k}\times N 为k式 |A(i_1,i_2,···,i_k;j_1,j_2,···,j_k)| 的代数余子式。
可见按行按列展开是拉普拉斯展开的一种特殊情况。

拉普拉斯展开的公式

设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij与(?1)^(i+j)的乘积：Cij= (?1)^(i+j) Mij拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：|B| = bi1Ci1 +bi2Ci2 +... +binCin = b1jC1j +b2jC2j +... +bnjCnj
1.拉普拉斯展开的公式是：
对于任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：
2.拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。
3.在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。
4.设B是一个 的矩阵， 。为了明确起见，将 的系数记为 ，其中
考虑B的行列式|B|中的每个含有 的项，它的形式为：
其中的置换τ ∈Sn使得τ(i) =j，而σ ∈Sn-1是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与τ相同的像上去的置换。显然，每个τ都对应着唯一的σ，每一个σ也对应着唯一的τ。因此我们创建了Sn?1与{τ∈Sn:τ(i)=j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：
定义σ' ∈Sn使得对于1 ≤k≤n?1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) =n，于是sgnσ' = sgn σ。然后
由于两个轮换分别可以被写成 和 个对换，因此
因此映射σ ? τ是双射。由此：

从而拉普拉斯展开成立。

矩阵的拉普拉斯展开公式怎么写？

设两方阵A(n*n)，B(m*m)在副对角线上，通过矩阵的列变换将A，B移到主对角线上，然后用拉普拉斯展开。A的第一列列变换m次，A的第二列列变换也是m次，依此类推，A的第n列的列变换也是m次，可以得知列变换共进行了m*n次，列变换完成后，B已经移到主对角线上了，所以要乘(-1)^(m*n)。
设两方阵A(n*n)，B(m*m)在副对角线上，通过矩阵的列变换将A，B移到主对角线上，然后用拉普拉斯展开。A的第一列列变换m次，A的第二列列变换也是m次，依此类推，A的第n列的列变换也是m次，可以得知列变换共进行了m*n次，列变换完成后，B已经移到主对角线上了，所以要乘(-1)^(m*n)。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的`一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。

拉普拉斯展开定理是什么？

解释：
拉普拉斯展开定理是指设在独立试验序列中，事件A在各次试验中发生的概率为p(0公式：
则有：
其中z为任意实数，q=1-p.
证：设随机变量ξ^i表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…)，则ξ^i服从“0-1”分布，且有：
直接由列维定理就得此定理。
在数学中，拉普拉斯展开定理（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。
行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n行 n列，它的拉普拉斯展开一共有 2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。
扩展资料：
拉普拉斯在数学，特别是概率论方面，也有很大贡献。他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页。
其中最有代表性的专著有《天体力学》（Traité deMécanique Céleste，15卷16册，1799～1825）、《宇宙体系论》（Exposition du système du monde，1796，中译本1978年版）和《概率分析理论》（Theorie Analytique des Probabilites，1812）。
拉普拉斯把注意力主要集中在天体力学的研究上面。他把牛顿的万有引力定律应用到整个太阳系，1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。
参考资料来源：百度百科——拉普拉斯展开

拉普拉斯展开式为什么是mn

拉普拉斯展开式需要交换mn次，所以是mn。具体步骤是：1、在数学拉普拉斯展开式中，设A，B分别是m，n阶，写成一个一个列向量形式。2、A的第一列依次与前面那一列交换，那么挪到整个行列式的第一列需要n次。3、同样的第A的第二列挪到整个行列式的第二列也要n次，而A有m个列向量，则总共需要交换mn次。

怎样求行列式的值？

行列式是一个数学概念，表示一个方阵的特征值。求行列式的值有多种方法，以下是一些常用的方法：
1. 高斯消元法：这是求行列式值的一种常用方法。将一个 n 阶行列式转化为一个 n 阶方阵的行列式，然后通过高斯消元法求解该方阵的行列式。具体步骤如下：
(1) 将行列式中的每一个元素都看作是一个未知数，构造一个 n 阶方程组。
(2) 使用高斯消元法求解这个方程组，得到方程组的解。
(3) 根据克拉默法则，行列式的值等于方程组解中的常数项之积。
2. 拉普拉斯展开式：拉普拉斯展开式是求行列式值的一种常用方法。对于一个 n 阶行列式，可以将其第一行 (或第一列) 展开，得到一个 n-1 阶行列式。然后，可以使用递归的方式求解该行列式的值。具体步骤如下：
(1) 选择行列式的第一行 (或第一列)，将其展开。
(2) 使用递归的方式，求解展开后得到的 n-1 阶行列式的值。
(3) 根据拉普拉斯展开式的公式，计算行列式的值。
3. 高斯消元 - 拉普拉斯展开式：这是一种结合了高斯消元法和拉普拉斯展开式的方法，可以用于求解行列式的值。具体步骤如下：
(1) 使用高斯消元法将行列式转化为一个上三角矩阵。
(2) 使用拉普拉斯展开式求解上三角矩阵中的每个元素。
(3) 根据上三角矩阵中的元素，计算行列式的值。
以上是求行列式的值的一些常用方法，具体方法可以根据行列式的特点和需求选择。

拉普拉斯定理的公式是什么？

拉普拉斯定理求行列式如下：其中任意取定 k 行（列），1≤ k ≤ n -1，由这 k 行（列）的元素所构成的一切 k 阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式 D 的值。拉普拉斯公式1、拉普拉斯公式是关于行列式的展开式，也称为拉普拉斯展开或拉普拉斯定理。它可以用来计算行列式的值。2、将一个nxn矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的（n-1）x（n-1）余子式的和。3、拉普拉斯定理可以用来求行列式的值，其中任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。拉普拉斯定理及相关例证一、拉普拉斯定理1、计算降阶行列式的一种方法。该定理断言：在n阶行列式D=lail中，任意取定k行（列），1sk≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。2、此展式称为拉普拉斯展式。拉普拉斯定理亦称按k行展开定理。拉普拉斯定理事实上是柯西（Cauchy,A.-L.）于1812年首先证明的。二、相关例证1、利用拉普拉斯定理证明相关命题定理3，设A,B是n阶方阵，则｜AB|=|A||B|，定理4，A10000A200000000As=|A1||A2l….As|，其中Ai是ni阶方阵，i=1,2,...,S定理4由定理2易得。2、利用拉普拉斯定理计算行列式（1）例1计算行列式D=a00b0cd00ef0g00h。解由于D的第一、四行中只有一个2阶子式不为零，因此，取这两行，然后根据拉普拉斯定理展开的D=abgh(-1)(1+4)+(1+4)cdef=acfh-adeh+bed g-bcgh。（2）例2设A=34004-30000200022，求IA8｜及A4。解若记AA100A2，其中A1=344-3,A2=2022，则A成为一个分块对角矩阵。（3）于是｜A8[=|A|8=(|A1]|A2|)8=|A1|8|A2|8=1016；A4=A4100A42。因为，A21=250025，所以A41=54E;A2=21041．代入即得A4=540000540000240002624。

如何用拉普拉斯定理展开行列式？ 有图片， 求详细解答

简单分析一下即可，详情如图所示
例题
拉普拉斯展开定理是按多行(或列)展开
一般的展开定理是按一行(列)展开
题中按1,2行展开, 即 1,2行构成的所有2阶子式 与其代数余子式 的乘积之和 等于原行列式
2 3
1 2
是1,2行,1,2列构成的2阶子式, 其代数余子式 = (-1)^(1+2+1+2) * 余子式
其中(-1)^(1+2+1+2) 是 2阶子式
2 3
1 2
所处的行和列的和, 其余子式即删除1,2行和1,2列后剩下的
2 3
1 2
是的，同时按前两行展开。
关于展开式的第一项，您第一句话所指向的行列式不是余子式，就叫2阶子式（不妨记为A）；第二个方框所指的行列式是A的余子式，再加上正负号，就是A的代数余子式。
见图片。另附余子式定义 http://baike.baidu.com/view/1505817.htm

行列式的拉普拉斯展开式


一个行列式按指定的k行展开，指的是：先找出这k行的全部k阶子式，然后让这些k阶子式都乘以它们的代数余子式，再将所有的这些乘积求和，最后这个和就等于原来那个行列式。这就是行列式按k行进行拉普拉斯展开的定义。
当然我们，还要解释这个定义当中的一些名词。而且我们还会对k=2进行一个具体的解释。
首先讲什么是一个行列式中的一部分元素（实际上是由这部分元素组成的矩阵）的一个k阶子式（如定义中的k行的一个k阶子式），它是指在这部分元素中（指在这个矩阵中）选定k行k列，则由这k行k列的交叉点对应的元素组成的行列式。
再接着讲一个行列式的某个k阶子式的余子式。首先设这个行列式是n阶行列式且n>k>0。因为我们说的那个某个k阶子式一定占有了这个行列式的K个行和K个列，所以将这个行列式的这k个行和这k个列都划去，则这个行列式还剩下了，正好是n-k个行，n-k个列，因此这剩下的n-k个行，n-k个列组成的行列式，就称为某个k阶子式的余子式。
最后再说明一个行列式的某个k阶子式的代数余子式。刚才已经讲过了某个k阶子式的余子式。这个代数余子式就是我们讲的那个余子式乘以一个(-1)^m。下面只要算出m等于几就可以了。这就需要我们知道某个k阶子式在原来那个行列式中是在哪几行？哪几列？我们记录这个K阶子式在原来行列式中是在i1行，i2行，i3行，………，ik行；而且是在j1列，j2列，j3列，………，jk列，则m=i1+i2+i3+………+ik+j1+j2+j3+………+jk。这样我们就介绍完了一个行列式的某个k阶子式的代数余子式。因此也就介绍完了一个行列式按指定的k行进行拉普拉斯展开。
最后我们再介绍k=2所对应的拉普拉斯展开。为了更加容易听得懂，我们这里假设原来那个行列式是一个五阶的行列式（设其第i行第j列的元素为a(i,j)），下面我们按定义将这个五阶行列式按指定的两行，不妨设是按第二行和第四行进行拉普拉斯展开：首先是找出这两行的所有二阶子式，先找第一个二阶子式，就是前两列组成的二阶子式，我们简称是由(1,2)列组成的二阶子式，显然这个子式的第一行的元素是a(2,1)，a(2,2)；第二行的元素是a(4,1)，a(4,2)。这样我们已经找出了一个二级子式，我们称它为(1,2)列子式，按字典排列还有(1,3)列子式，(1,4)列子式，(1,5)列子式，(2,3)列子一式，(2,4)列子式，(2,5)列子式，(3,4)列子式，(3,5)列子式，(4,5)列子式。这就是这个五阶行列式，指定了两行（指定的是第二行和第四行）的全部二阶子式。 再让这些二阶子式，都成以他们的代数余子式，然后求和就等于原来那个五阶行列式。这就是五阶行列式按指定的两行（第二行和第四行）的拉普拉斯展开。为了说清楚，我们写出(1,2)列子式的代数式，它等于=[(-1)^m]?{(1,2)列子式的余子式}；其中m=i1+i2+j1+j2=2+4+1+2，
{(1,2)列子式的余子式}=(一个三阶行列式)，这个三阶行列式第一行的元素是
a(1,3),a(1,4),a(1,5)，
第二行的元素是
a(3,3),a(3,4),a(3,5),
第三行的元素是
a(5,3),a(5,4),a(5,5)。