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开普勒第二定律证明,行星角动量问题为什么行星的合力矩为0？还有,开普勒第二定律怎么证明的？

admin admin 发表于2024-03-12 19:59:06 浏览22 评论0

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本文目录一览：

如何证明开普勒第二定律

开普勒三大定律分别是：所有行星轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上；行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等；行星轨道的半长轴的三次方与行星公转周期的平方的比值是一个只与中心天体有关的常量。
开普勒三大定律均为经验定律，是由无数的观察数据总结出来的，定律与其他相关数据符合程度也非常好。
实际的证明等到以后科技更为发达之后，我们可以测得更加精确的数据或者直接测相等的时间内扫过的面积的具体值，就直接证明定律的正确性了。
角动量守恒： mv 叉乘 r = 常数
v = dr / dt 即矢径对时间的微分。
另一方面，dr 叉乘 r 正好是 dt 时间内矢径扫过面积的2倍。
所以，就有开普勒第二定律了。 它的本质是中心力场角动量守恒。
证明必须得有几条公认的公理，这里应将万有引力定理作为公理，开普勒定律自然就出来了（我认为虽然万有引力定理本身是由开普勒定律得出来的，但一旦得出后，就应该将其看成公理吧）。
一楼说的是对的。
三楼可能不太懂kepler's second law哦。
http://cai.tongji.edu.cn/SHIYANXIANGMU/%CD%F2%D3%D0%D2%FD%C1%A6%D3%EB%CA%B1%BF%D5%CD%E4%C7%FAb.htm
大学讲师的证明,去看看吧
由于万有引力充当向心力，所以角动量守恒定律给出（m为行星质量，r为行星到太阳的距离，θ为行星速度与行星和太阳之间连线的夹角）：L＝m（r＾2）w＝Const，解出r2，得到，r＾2＝L／（mw）。
同时，极坐标形式下，面积元为：dS＝（1／2）（r＾2）dθ，代入上面的求得的r2，可以得到：dS＝L／（2mw）dθ。又w＝dθ／dt，即：dS＝L／（2m）dt。得到了开普勒第二定律。
扩展资料：
开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动。开普勒第二定律，或者是用几何语言，或者是用方程，将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结。有效解决了对于天体运动规律的解释。
在研究天体的运动中，利用牛顿的力学和开普勒三大定律的有效结合，可以预测天体的运行轨道、运动速度、旋转周期，从而能够预测某一时刻到天体在空间中的位置，能够应用到天体探测、卫星发射等领域。

如何证明开普勒第二定律？

角动量守恒： mv 叉乘 r = 常数
v = dr / dt 即矢径对时间的微分。
另一方面，dr 叉乘 r 正好是 dt 时间内矢径扫过面积的2倍。
所以，就有开普勒第二定律了。 它的本质是中心力场角动量守恒。
假设运动轨道为圆,近似证明
就是角动量守恒。
开普勒第二定律（面积定律）：从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积。
用公式表示为：sab=scd=sek
简短证明：以太阳为转动轴，由于引力的切向分力为0，所以对行星的力矩为0，所以行星角动量为一恒值，而角动量又等于行星质量乘以速度和与太阳的距离，即l=mvr,其中m也是常数，故vr就是一个不变的量，而在一短时间△t内，r扫过的面积又大约等于vr△t/2,即只与时间有关，这就说明了开普勒第二定律。
参考资料：http://baike.baidu.com/view/79617.htm

如何利用角动量守恒证明开普勒第二定律？

开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变． 利用角动量守恒定律证明如下。 证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量L守恒（为常矢量）．L的大小为 L=r*m*v*sinp=常数 (1) 其中p是矢径r与行星速度v的夹角． 设在足够小的dt时间内，太阳到行星的矢径r扫过的角度很小，于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为 dS=0.5*r*v*dt*sinp 则矢径r掠过的面积速度为 u=dS/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp (2) (2)式同(1)式对比可得 L=2m*u=常数 于是u即掠面速度是常数。 由此得证：由角动量守恒，行星运动的掠面速度不变。

行星角动量问题为什么行星的合力矩为0？还有,开普勒第二定律怎么证明的？

什么叫行星的合力矩?如果你说的是行星所受的外力对它自身的合力矩,那当然是0,因为行星受到的外力都是引力,全部过其自身的质心；若你说的是行星所受合力对引力中心的合力矩,由于行星所受的合力是指向引力中心的,所以合力矩也为零.
开普勒第二定律的证明:
设引力中心（例如太阳）位于O点,天体（例如地球）沿椭圆轨道经时间dt从点P1运动到点P2,则扇面OP1P2就是天体扫过的面积,设为s；设OP1长度为r,OP2长度为r+dr；延长OP1至P1',使OP1'的长度等于r+dr,在OP2上取一点P2',使得OP2'=r,这样就得到两个扇形OP1'P2和OP1P2',由上诉三个扇形的面积之间的关系,可以得出：
扇形OP1'P2的面积>ds>扇形OP1P2'的面积
设OP1和OP2的夹角为f,写成表达式就是：
0.5*（r+dr)^2
*f
>
s
>
0.5*
r^2
*f
将上式均除以dt,然后另dt
->
0,求极限.得到：
s对时间的导数
=
0.5*
r^2
*(f对时间的导数)
因为上式右端恰好是天体对引力中心的角动量（或者叫动量矩）的一半,由于上面已经说过,天体所受合外力对引力中心取矩为0,因此根据动量矩守恒定理,上式的右端为一个常数.
也就是说s对时间的导数是一个常数,说明天体所扫过的面积s的变化速度是恒定的,换一种说法就是单位时间扫过的面积是恒定的,得证.

试用角动量守恒定理证明“开普勒第二定律”。

开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变．
利用角动量守恒定律证明如下。
证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量L守恒（为常矢量）．L的大小为
L=r*m*v*sinp=常数
(1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角．
设在足够小的dt时间内，太阳到行星的矢径r扫过的角度很小，于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
dS=0.5*r*v*dt*sinp
则矢径r掠过的面积速度为
u=dS/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp
(2)
(2)式同(1)式对比可得
L=2m*u=常数
于是u即掠面速度是常数。
由此得证：由角动量守恒，行星运动的掠面速度不变。

开普勒第二定律的证明

开普勒第二定律的证明介绍如下：
根据角动量守恒定律，行星绕恒星运动的轨道都是椭圆，且恒星处在椭圆的某个焦点上。
极坐标形式下，面积元为dS=(1/2)(r^2)dθ。
根据角动量守恒定律，行星的角动量L=m(r^2)w=Const，其中w=dθ/dt。
代入上面的求得的r2，可以得到dS=L/(2mw)dθ。
得到开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，其与恒星的连线（极径）扫过的面积S与运动时间t成正比。
开普勒第二定律
开普勒行星运动第二定律，也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。
该定律是德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现的三条开普勒定律之一。最初刊布在1609年出版的《新天文学》中，该书还指出该定律同样适用于其它绕心运动的天体系统中。
开普勒第二定律是对行星运动轨道更准确的描述，为哥白尼的日心说提供了有力证据，并为牛顿后来的万有引力证明提供了论据，和其他两条开普勒定律一起奠定了经典天文学的基石。

如何用万有引力定律证明开普勒第一和第二定律

开普勒第一定律的证明是我直接在百度知道上复制粘贴的
设太阳与行星质量分别 M和m,取平面极作标系,行星位置用（r,α）来描述.如图行星位置矢量 是垂直单位矢量.
行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°
首先证明行星一定在同一平面内运动,有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)
力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0.
d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0.
积分,得r×v=h(常矢量)
上式表明,行星径矢 r始终与常矢量h正交,故行星一定在同一平面内运动.
为了得出行星运动的轨迹,采用图中平面极坐标方向
,取静止的太阳为极点o,行星位置为(r,α).在平面
极坐标中,行星运动有关物理量如下：
径行r=r·r° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)·r°+r·(dα/dt)·α°
r°是径向单位矢量,α°为径向垂直单位矢量.
dr/dt是径向速度分量, r·(dα/dt)是横向速度分量
速度大小满足v2=(dr/dt)2+( r·(dα/dt))2
动量mv=m(dr/dt)+m( r·(dα/dt))
角动量L=r×mv=m?r2(dα/dt)?(r°×α°)
得L=m?r 2?(dα/dt)
行星所受的太阳引力指向o点,故对o点力矩M=0,由角动量定理,知角动量守恒.L为常量
太阳行星系统的机界能守恒,设系统总能量为E,则
E=?mv2-GMm/r
因 α/dt=L/mv2 dr/dt= (L/mv2)(dr/dα)代入上式
(L2/m2r2r2)(dr/dα)2+ L2/m2r=2E/m+2GM/r
上边两式同乘m2/ L2,得
dr2/dα2r2r2+1/r2=2mE/L2+2Mm2/L2r
为了简化式子,令ρ=1/r.则dr/dα=-r2(dρ/dα)
于是方程变为（dr/dα）2+ρ2-2Gm2Mρ/L2=2mE/L2
上式对α求导.并注意E与L为常量.得
2（dr/dα）（d2r/dα2）+2ρ(dρ/dα)-GMm/L2(dρ/dα)=0
在通过数学推导便得出开普勒第一定律.
开普勒第二定律的证明来自赵凯华的物理力学教程
设在某时刻行星对中心天体的矢径是r(向量),行星质量是m,速度是v(向量),则根据角动量定义L=r×mv=mr×dl/dt等式两边取模得|L|/2m=1/2*|r×dl|/dt根据数学面积公式S=1/2*|a×b|得|L|/2m=dS/dt,由于角动量守恒,所以dS/dt是恒量

用角动量守恒证明开普勒第二定律......

行
其次，行星对太阳的角动量大小为，
L=mrvsinα=mrsinα|dR/dt|
=mlim(r|δR|sinα)/δt） δt->0
而r|δR|sinα等于阴影三角形的面积的两倍，以δS表示这个面积，则
r|δR|sinα=2δS
代入上式得
L=2mlim(δS/δt)=2mdS/dt
开普勒第二定律又称面积定律，即相等时间扫过面积相等，也即掠面速度不变，，证明这个定律的关键是弄清楚角动量和掠面速度的关系，即下面的（3）式。具体我就不写了，下面引用一位仁兄的写法。
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开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变．
利用角动量守恒定律证明如下。
证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量l守恒（为常矢量）．l的大小为
l=r*m*v*sinp=常数
(1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角．
设在足够小的dt时间内，太阳到行星的矢径r扫过的角度很小，于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
ds=0.5*r*v*dt*sinp
则矢径r掠过的面积速度为
u=ds/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp
(2)
(2)式同(1)式对比可得
l=2m*u=常数
（3）
于是u即掠面速度是常数。
由此得证：由角动量守恒，行星运动的掠面速度不变。

开普勒第二定理的证明 怎么证明它

开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内,行星与恒星的连线扫过的面积相等.当我第一眼看到这条定律的时候,觉得非常神奇,而当我看到了这个定律的证明时,不禁更觉神奇了!下面我把从《物理定律的本性》上看到的关于这个定理的证明简要写下来供大家欣赏.
如图,O为恒星,直线AC为行星不受引力时的轨迹.设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等,A处的时刻为t1,B为t2,C为t3.现在假设行星不受O的引力作用,那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）.现在行星受到引力作用了,因为引力的方向时刻指向恒星,所以在从t1到t3这段时间里,行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）.因此,t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO,因此沿BO方向的向量等价于CC’）.这样,SΔBCO=SΔBC’O(同底等高).因此,SΔBC’O=SΔABO.因为Δt是任取的,所以在相等的时间内,行星与恒星的连线扫过的面积相等.
我写的可能不是很清楚,有什么不明白的我会再详细讲的.

怎么证明开普勒第二定律？

开普勒第二定律内容（又称面积定律）如下：对于每一个行星而言，太阳（恒星）和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等。众所周知，连线扫过的图形是一个不规则的曲边三角形，对于曲边三角形而言，它的面积似乎只能用积分来求，但开普勒生活的时代早于微积分的创始者-------牛顿与莱布尼兹生活的时代，那么他是怎样发现并证明出这个匪夷所思却极其美妙的面积定律呢？为了思考这个问题，我也尝试了证明，刚开始运用了动能定理，式子能够列出来，但无法确定出速度与时间的函数关系，后来我又尝试了动量定理，但行星所受的太阳引力是变力，不适用于冲量的运算。
大概前天晚上，我查了资料得知“角动量守恒定律”可以推倒出第二定律。今天下午我来到了新华书店，翻开了一本大学物理教材，里面详细介绍了角动量，力矩的概念。
如图1所示，质点P绕O点转动（P既有可能做圆周运动，也有可能做不规则的向心运动），其与中心点O的距离为r，角动量的定义为绕转质点到中心点的距离与其动量的乘积，故角动量为矢量，用公式表示：L=mvr。（其中m为绕转质点的质量，v是绕转质点的线速度，r为绕转质点到中心质点的距离，式子为矢量相乘）。
初中学杠杆定理时，曾接触过力矩的概念。如图2所示，绕转质点P所受的力为F，则力矩等于质点P受到的外力和与其垂直并到中心点距离的乘积。用公式表示为：M=Fr（矢量相乘，M为力矩，F为绕转质点受到的合力，r为与绕转质点垂直并到中心点的距离），力矩的大小表示为M=FrsinA。如果F与r共线，则力矩M就为0.

下面将会运算出一个极其重要的结论。运用求导：dL/dt=d(mvr)/dt=dr·(mv)/dt+r·d(mv)/dt。（这一步照搬课本上的，具体算法我也不知道），最终算出M=dL/dt。
由此可以得到一个结论：质点所受合力对任意参考点的力矩等于该质点对同一参考点角动量的变化率。这就是角动量守恒定律。
如图3所示，在椭圆轨道中，行星E的受力为F，指向恒星S，则F与r共线，故行星E的力矩为0，则其角动量的变化率为0，所以说行星在其椭圆轨道上任意一点的角动量大小始终没有变化。角动量的单位是kg·m^2/s，可以间接的理解为角动量等于质量乘以面积再乘以时间的倒数，很显然，面积就是质点的运动轨迹与中心点所围成的曲边三角形的面积。所以在相同的时间间隔里，面积必定相同。
数据：两倍掠面速度(J0)，两倍椭圆面积(2πab)，椭圆周期定律(T)，极径(R)，偏斜速度(VS)，偏斜动量(mVS)，速度方向与极径夹角(α)，球面速度(VD)，极径角速度(ωR), 弧高(RL) ，最小曲率半径（L0），速度系数（VC），天体引力常数（GM）
开普勒第二定律掠面速度守恒公式：
J0 = (GML0）1/2 = L0（GM/ L0）1/2 = L0·Vc = a(1-e2)·VC = R·VS·sinα= VS·R·cosβ。
这是天体偏斜运动一般的矢积面速度守恒公式：极径*天体速度*两矢夹角正弦。
开普勒第二定律几种表述：
表述一：两倍掠面速度(J0)= 两倍椭圆面积(2πab)/椭圆周期(T)
J0 = 2πab/T = 2(πab/n)/(T/n) = 2dA/dt
表述二：极径(R)* 天体速度(VS)*两矢夹角的正弦sin(α)的三个变量的积是不变量。
J0 = VS·R·sinα= VS·R·cosβ
表述三：天体速度(VS)*弧高(RL) 二个变量的积是不变量。
J0 = VS·（Rcosβ）= VS·RL
表述四：极径(R)*球面速度(VD)二个变量的积是不变量。
J0 =R·（VS cosβ）= R·VD = R·dD/dt
表述五：极径的平方(R2)*极径角速度(ωR)的积是不变量。
J0 = R·VD = R（RωR） = R2·ωR
表述六：最小曲率半径（L0）*速度系数（VC）。
J0 = R·VD=（L0/K0）·（VC K0）= L0·VC = L0（GM/ L0）1/2
表述七：天体引力常数（GM）与最小曲率半径（L0）积的平方根。
J0 = L0·VC = L0·（GM/ L0）1/2 = （GM·L0）1/2
特别的：
近日点的天体速度最大：Vm= J0/Rn =J0/a(1-e) = a(1-e)(1+e)·VC/a(1-e) = VC(1+e)
远日点的天体速度最小：Vn= J0/Rm =J0/a(1+e) = a(1-e)(1+e)·VC/a(1+e) = VC(1-e)。