本文目录一览：
- 1、牛顿莱布尼茨公式是什么啊？谢谢~~
- 2、牛顿-莱布尼茨公式是什么？
- 3、牛顿莱布尼茨公式
- 4、牛顿莱布尼茨公式是什么？
- 5、牛顿莱布尼茨公式是什么？
- 6、牛顿莱布尼茨公式是什么？
- 7、牛顿莱布尼茨公式是什么？
- 8、牛顿莱布尼茨公式计算举例
- 9、定积分中的牛顿莱布尼茨公式是什么？
牛顿莱布尼茨公式是什么啊？谢谢~~
若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：
编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)=
x∫a*f(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
Φ(x)=
x∫a*f(t)dt
编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ
与格林公式和高斯公式的联系
’(x)=f(x)。
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim
Δx→0
ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx
求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx
2,
求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx
3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx
解答：
e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+
∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0
简单分析一下，详情如图所示
莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。
一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有
莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。
拓展资料：
微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。
牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。
牛顿-莱布尼茨公式是什么？
牛顿-莱布尼茨公式：∫x^αdx=x^(α＋1)/(α＋1)+C(α≠－1)。定积分一般定理：定理1：设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。定理2：设f(x)区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。定理3：设f(x)在区间[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积。牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式若函数f（x）在（a，b）上连续，且存在原函数F（x），则f（x）在（a，b）上可积。
理解：
比如路程公式：距离s=速度v×时间t，即s=v×t，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a，而如果v不能在这个时间段内保持均速，那么上面的这个公式（s=v×t，t=b-a）就不能和谐的得到正确结果，于是引出了定积分的概念。
公式的应用：
对函数f（x）于区间（a，b）上的定积分表达为：b∫a×f（x）dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：Φ（x）=x∫a×f（x）dx。
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：Φ（x）=x∫a×f（t）dt。
研究这个函数Φ（x）的性质：1、定义函数Φ（x）=x（上限）∫a（下限）f（t）dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系’（x）=f（x）。
牛顿简介、哲学思想及主要成就：
牛顿：
艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”。
哲学思想：
牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主义，他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物一样，牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献，但他也不能不受时代的限制。他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念。
主要成就：
他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。
他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。
牛顿莱布尼茨公式是什么？
牛顿莱布尼茨公式适用范围是若函数fx在ab上连续。且存在原函数Fx，则fx在ab上可积，且∫a到bfxdx等于Fb减Fa，牛顿在1666年写的流数简论中利用运动学描述了这一公式，1677年莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
牛顿莱布尼茨公式特点
牛顿莱布尼茨公式NewtonLeibnizformula，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系，牛顿莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间ab上的定积分等于它的任意一个原函数在区间ab上的增量。
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法，它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值，牛顿莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁。
牛顿莱布尼茨公式是什么？
莱布尼茨公式：（uv）?=∑(n，k=0) C(k,n) · u^(n-k) · v^(k)
符号含义：
C（n，k）组合符号即n取k的组合，u^（n-k）即u的n-k阶导数， v^(k)即v的k阶导数。
莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。
莱布尼茨公式给出了含参变量常义积分在积分符号下的求导法则。莱布尼茨是德国自然科学家，客观唯心主义哲学家，启蒙思想家。生于莱比锡，死于汉诺威。早年就读于莱比锡大学，于1663年获得学士学位。1667年又获阿尔特多夫大学法学博士学位。曾任美因茨选帝侯的外交官、宫廷顾问、图书馆长等职。1770年当选为英国皇家学会会员。
莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。
推导过程
如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，
u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)
至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：
(uv)' = u'v + uv'
(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''
…………
上式便称为莱布尼茨公式（Leibniz公式）
由于名称相似，不少人将牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式相混淆，事实上他们是两个完全不同的公式。
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。而莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。
二者存在本质上的区别。
牛顿莱布尼茨公式是什么？
若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：
编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)=
x∫a*f(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
Φ(x)=
x∫a*f(t)dt
编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ
与格林公式和高斯公式的联系
’(x)=f(x)。
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim
Δx→0
ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx
求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx
2,
求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx
3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx
解答：
e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+
∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0
牛顿莱布尼茨公式是什么？
公式简介：
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
定积分一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
扩展资料
定积分的正式名称是黎曼积分。就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距是相等的。但是必须指出，即使不相等，积分值仍然相同。
参考资料来源：百度百科-牛顿-莱布尼茨公式
参考资料来源：百度百科-定积分
公式简介：
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
扩展资料：性质
1、当a=b时，
2、当a>b时，
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在[a,b]内使
参考资料来源：百度百科—定积分
牛顿莱布尼茨公式计算举例
牛顿莱布尼茨公式计算：
对于积分∫[x1→x2]f(x)dx。
假设存在F(x)，使得F'(x)=f(x)，即有dF(x)=f(x)dx。
于是原积分化为∫[x1→x2]dF(x)，按照积分的定义，∫[x1→x2]dF(x)=F(x2)-F(x1)。
于是就得到了牛莱公式，∫[x1→x2]f(x)dx=F(x2)-F(x1)，其中F'(x)=f(x)。
对于∫（0~1）x^2dx，f(x)=x^2，根据求导规则可知，可以选择F(x)=x^3/3，因为此时F'(x)=f(x)。
于是根据牛莱公式∫（0~1）x^2dx=F(1)-F(0)=1/3。
定积分中的牛顿莱布尼茨公式是什么？
若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且 b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式。 牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：
编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数： Φ(x)= x∫a*f(x)dx 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： Φ(x)= x∫a*f(t)dt
编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ 与格林公式和高斯公式的联系
’(x)=f(x)。 证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt 显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得， 也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。) 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。 2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。 证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x） 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a), 而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx
求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx 2, 求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx 3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx
解答：
e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+
∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0
课本里应该有吧，建议好好看下书
