本文目录一览：
- 1、什么是笛卡尔积？
- 2、笛卡尔积
- 3、什么是笛卡尔积？
- 4、笛卡尔积运算性质是怎样的？
- 5、如何理解笛卡尔积的概念？
- 6、计算机中关系数据库那里，那个广义笛卡尔积怎么算吖？
- 7、笛卡尔积是什么？
- 8、什么是笛卡尔积
- 9、笛卡尔积的基是什么意思
什么是笛卡尔积？
笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尓积（Cartesian product），又称直积，表示为X × Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。
直观的说就是集合A{a1,a2,a3} 集合B{b1,b2}，他们的 笛卡尔积 是 A*B ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}任意两个元素结合在一起。
扩展资料：
假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合，B表示所有韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。
设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.
笛卡尔积的符号化为：
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
例如，A={a,b}, B={0,1,2}，则
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
运算
1.对任意集合A，根据定义有
AxΦ =Φ , Φ xA=Φ
2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即
AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）
3.笛卡尔积运算不满足结合律，即
(AxB)xC≠Ax(BxC)（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)
4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即
Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)
参考资料:百度百科：笛卡尔积
笛卡尔积
首先知道啥是笛卡尔积，百度百科中解释是这样的：
通俗理解就是一个集合中的所有元素与另外一个集合中的所有元素的所有组合。需要注意有先后顺序。
举个例子：
集合A={a,b}, B={0,1,2}，则
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
再如：
集合A是所有声母，集合B是所有韵母。那么集合A与集合B的笛卡尔积就是所有的拼音组合。
python默认迭代器库 itertools 提供笛卡尔积计算函数 product 。
用法：
示例1:
计算姓氏“张、李”和名“一、二、三”所有搭配组合。
示例2：
当然不仅仅是两个集合，多个集合也同样可以。
比如字典的生成。
当然如果字典生成不需要有序的话，可以使用另外两个函数 permutations
和 combinations 。
两者的区别在于，如果几个集合的元素相同，但位置顺序不同，permutations记为不同集，而combinations记为同一集合，也就是permutations为有序集合combinations为无序集合。
什么是笛卡尔积？
笛卡尔积又叫笛卡尔乘积，是一个叫笛卡尔的人提出来的。
简单的说就是两个集合相乘的结果。
具体的定义去看看有关代数系的书的定义。
直观的说就是
集合A{a1,a2,a3}
集合B{b1,b2}
他们的
笛卡尔积
是
A*B
={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}
任意两个元素结合在一起
笛卡尔积运算性质是怎样的？
笛卡尔积其计算方式是将一个集合的元素作为第一个元素，另一个集合的元素作为第二个元素，以此类推，直至所有集合的元素都被使用。
笛卡尔积是一个数学概念，用于描述两个或多个集合之间所有可能的有序对的集合。它是以法国哲学家和数学家笛卡尔的名字命名的，因为笛卡尔在研究逻辑和哲学问题时首次提出了这个概念。
计算笛卡尔积需要将每个集合的元素逐一与其他集合的元素进行组合，形成有序对，并将所有这些有序对放在一起构成一个集合。这个集合就称为这些集合的笛卡尔积。
例如，如果有两个集合A和B，那么它们的笛卡尔积可以表示为A × B。如果A包含元素a1和a2，B包含元素b1和b2，那么A × B就会包含四个有序对：(a1, b1)、(a1, b2)、(a2, b1)和(a2, b2)。
当集合的元素较多时，笛卡尔积可以非常庞大。因此，在实际应用中，我们通常会尽量避免计算大型集合的笛卡尔积，或者使用更高效的算法来处理需要使用笛卡尔积的问题。但是，对于一些简单的场景，例如排列组合问题，笛卡尔积是非常有用的工具。
笛卡尔积运算性质：
1、当A或者B为空集时，A×B=?。这意味着如果集合A或集合B中有一个为空，那么它们的笛卡尔积为空集。
2、笛卡儿积运算不满足交换律，当A≠B且A≠?且B≠?时，A×B≠B×A。这意味着，即使两个集合的元素相同，它们的顺序不同，笛卡尔积也是不同的。
3、笛卡儿积运算不满足结合律，当A≠?且B≠?且C≠?时，(A×B)×C≠A×(B×C)。这意味着，即使两个集合的笛卡尔积相同，它们的元素组合方式不同，结果也是不同的。
4、笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)和(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)，A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)和(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。这意味着，笛卡尔积的运算结果可以分配给并和交运算，反之亦然。
如何理解笛卡尔积的概念？
设集合为A，A上关系的全集为笛卡尔积A*A，共有n^2个元素。而全集的每一个子集都是A上的一种关系，（n个元素的集合有n^2个子集）所以共有2^（n^2）种关系。
而在函数上则有前域X和值域Y，可以先给前域分配i个元素，共有n种分配方式。对于每种分配方式有Cn，i*（n-1）^i种函数，总数为Cn，1*（n-1）^1+Cn，2*（n-1）^2+…+Cn，n-1*1^（n-1）+Cn，n*（n-1）^0=（1+（n-1））^n=n^n
笛卡尔积 是指两个集合中的每个元素都与另一个集合中的每个元素组合形成的所有元素的集合。 在关系数据库中，笛卡尔积是指两个表中的每个行都与另一个表中的每个行组合形成的所有行的集合。 因此，笛卡尔积 是一种关系运算，用于将两个表中的数据组合在一起。
计算机中关系数据库那里，那个广义笛卡尔积怎么算吖？
广义笛卡尔积的元组个数就是两个表的元组个数之积。一个表的一个元组分别对应另一个表的所有元组。这样一连，得出的结果的元组个数就是两个表的元组个数之积。
名称定义
假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。
笛卡儿积的运算性质
由于有序对
笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An.
笛卡儿积的运算性质. 一般不能交换.
笛卡儿积，把集合A，B合成集合A×B，规定
A×B＝{
推导过程
给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di?Di，i＝1，2，…，n｝
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域：
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}
则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：
D=D1×D2×D3 ＝
｛(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，
(张清玫，计算机专业，王敏)，(张清玫，信息专业，李勇)，
(张清玫，信息专业，刘晨)，(张清玫，信息专业，王敏)，
(刘逸，计算机专业，李勇)，(刘逸，计算机专业，刘晨)，
(刘逸，计算机专业，王敏)，(刘逸，信息专业，李勇)，
(刘逸，信息专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏) ｝
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。
序偶与笛卡尔积
在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
设x，y为任意对象，称集合｛｛x｝,｛x,y｝｝为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为
定义3-4.1 对任意序偶
递归定义n元序组
= <
两个n元序组相等
< a1，…an >= < b1，…bn >?(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1，A2 , …，An，
（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积(Cartesian product)，定义为
A1 ×A2=｛x | $u $v(x =
（2）递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）?（B×A）。
解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}
B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}
A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}
B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}
（A×B）?（B×A）=?
由例题1可以看到（A×B）?（B×A）=?
我们约定若A=?或B=?，则A×B=?。
由笛卡尔定义可知：
（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}
={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}
A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}
由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以
（A×B）×C ≠A×（B×C）
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合，*表示 è，?或 – 运算，那么有如下结论：
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：
A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：
(B*C) ×A＝(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 è时，结论（1）的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B è C)í(A×B) è (A×C) 从
再证明(A×B) è (A×C) í A×(B è C)
从
当*表示 è时，结论（2）的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论：
AíB?(A×C íB×C) ? (C×AíC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AíB T (A×CíB×C)
以AíB 为条件，从
得出(A×CíB×C)结论。
再证明(A×C íB×C) T AíB
以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用T附加式，推出x∈B
得出(AíB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合，那么有如下结论：
A×B í C×D的充分必要条件是Aí C，Bí D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性： A×B í C×D T Aí C，Bí D
对于任意的x∈A、y∈B，从
再证明必要性： Aí C，Bí D TA×Bí C×D
对于任意的x∈A、y∈B，从
笛卡尔积是什么？
设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.
笛卡尔积的符号化为：
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
例如，A={a,b}, B={0,1,2}，则
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
?
运算性质：
1.对任意集合A，根据定义有
AxΦ =Φ , Φ xA=Φ
2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即
AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）
3.笛卡尔积运算不满足结合律，即
(AxB)xC≠Ax(BxC)（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)
4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即
Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)
什么是笛卡尔积
笛卡尔积，是指集合A中元素与B中元素所有的两两组合。
如A=(a,b)，B=(1,2)，那么笛卡尔积为（a1,a2,b1,b2）
记忆方法：
弟弟ka（三声）倒了，耳朵里都是鸡血，他很生气，试图把所有可能导致出血的ka倒方式都观察一遍，以警世人！
笛卡尔积的基是什么意思
笛卡尔积是集合论中一个重要的概念，它表示两个集合中元素的所有可能组合。笛卡尔积可以理解为一个空间，其中每一个点都表示两个集合中的元素组合。而“基”在这里指的是构成笛卡尔积的各个元素、集合或属性，是组成笛卡尔积的最基本的组成单元。
笛卡尔积在数学和计算机科学中都有广泛的应用。在关系数据库中，笛卡尔积是一个重要的操作，它可以将多个表中的数据进行组合，进行数据查询和分析操作。在图形学中，笛卡尔积可以用于绘制三维图形的空间坐标，并进行各种变换和计算。在人工智能领域中，笛卡尔积也被广泛用于规划算法和机器学习中的因素组合。
笛卡尔积的意义在于它能够展示所有可能的组合方式，从而对问题进行彻底的分析与解决。如在数学中，它可以用于推导维数更高的向量空间、解析几何和微积分等问题。在计算机领域，笛卡尔积可以被用于查询数据、分析数据和处理数据。在生活中，我们也可以通过笛卡尔积来分析和解决种种问题，为决策提供更深刻的思考和思路。
