本文目录一览：
- 1、欧拉公式怎么推导的？
- 2、欧拉公式是如何推导的
- 3、欧拉公式怎么推导？
- 4、欧拉公式的推导过程
- 5、欧拉公式推导 欧拉公式推导简述
- 6、欧拉公式推导全过程
- 7、欧拉公式推导
- 8、不同坐标系下的坐标距正通过欧拉公式转换的推导过程？
- 9、欧拉公式cosx等于什么
欧拉公式怎么推导的？
欧拉公式：点数+面数-棱数=2
如：长方体：8点6面12条棱，8+6-12=2
n棱锥：点+面-棱=（n+1）+（n+1）-2n=2
n棱柱：点+面-棱=2n+（n+2）-3n=2
扩展资料
在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。
在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。
他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。
参考资料百度百科-欧拉公式
欧拉公式是如何推导的
欧拉公式有4条 （1）分式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e...
欧拉公式怎么推导？
由欧拉推导出的等式
e^iπ +1=0
得：
e^iπ =-1
即，e的iπ次方等于-1。(i为虚数单位)。
推导：
公式 x^ni =cos(nlnx)+isin(nlnx)，令x=e，n=π得：
e^iπ =cosπ+isinπ=-1+0=-1
即
e^iπ +1 =0
(推导中所用的第一个公式也是欧拉推导出的，具体方法本人还不清楚)
默认为复变函数论里的欧拉公式e^ix=cosx+i sinx
e^ix=cosx+isinx的证明：
∵e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展开式中把x换成±ix.
(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 ……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
∴e^±ix=cosx±isinx
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，
cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
欧拉公式的推导过程
e^(ix)=cosx+isinx
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
也可以展开为级数形式：
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+
扩展资料( 1)当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。
( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。
参考资料来源：百度百科-欧拉公式
欧拉公式推导 欧拉公式推导简述
欧拉公式推导如下：
1. 欧拉公式是e^ix=cosx+isinx, e是自然对数的底，I是虚数单位。将三角函数的定义域扩展到复数，建立了三角函数与指数函数的关系。它在复变函数理论中起着非常重要的作用。
2. e^ix=cosx+isinx的证明:因为e^x=1+x/1+ x^2/2!+ x ^ 3/3 !+ x ^ 4/4 !+……因为x = 1 - x ^ 2/2 !+ x ^ 4/4 !- x ^ 6/6 !……sin (x) = x ^ 3/3 !+ x ^ 5/5 !- x ^ 7/7 !......在e^x的展开中，用±IX代替x。(±i)2=-1，(±i)3=??I，(±I)^4=1 ...... e^±ix=1±ix/1!- x ^ 2/2 ! ? ?x ^ 3/3 !+ x ^ 4/4 !...... = ( 1 - x ^ 2/2 !+…)±I (X -x^3/3!…)所以e^ix =cosx±isinx将公式中的X替换为-x得到:e^-ix=cosx isinx，然后将两个公式加减得到:sinx= (e^ix-e^-ix) / (2I)， cosx= (e^ix+e^-ix) /2这两个公式也称为欧拉公式。取e^ix中的X =cosx+isinx = π，得到e^i π +1=0。
欧拉公式推导全过程
欧拉公式推导全过程如下：
欧拉公式三种形式分别是：分式里的欧拉公式=a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)，复变函数论里的欧拉公式为e^ix=cosx+isinx，三角形中的欧拉公式为d＾2=R＾2-2Rr。
一、把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。
二、复变函数论中的欧拉公式证明：
1、当R=2时，由说明这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R=2，V=2，E=2，于是R+V-E=2，欧拉定理成立。
2、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。
3、在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。
欧拉公式推导
欧拉公式有4条
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，是面数，则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
用拓朴学方法证明欧拉公式 尝欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假 设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么 F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 证明 如图15（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： （1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。 （2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。 （3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 （4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。 （5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。 （6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。 （8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 即F′-E′+V′=1 成立，于是欧拉公式： F-E+V=2 得证。
eix = 1 + i x - x2/2! - i x3/3! + x4/4! + i x5/5! + …
= (1 - x2/2! + x4/4! + …) + i (x - x3/3! + x5/5! + …)
又因为：
cos x = 1 - x2/2! + x4/4! + …
sin x = x - x3/3! + x5/5! + …
所以
eix = cos x + i sin x
不同坐标系下的坐标距正通过欧拉公式转换的推导过程？
欧拉公式可以用来将平面上的坐标从直角坐标系转换到极坐标系，或者从极坐标系转换到直角坐标系。以下是欧拉公式的推导过程：
假设在直角坐标系中，有一个点 P，其坐标为 (x, y)。我们可以将这个点表示为一个复数 z = x + i*y，其中 i 是虚数单位。这个复数 z 的模长表示点 P 到原点的距离，即：
|z| = sqrt(x^2 + y^2)
这个复数 z 的幅角表示点 P 在极坐标系中的角度，即：
arg(z) = atan(y/x)
根据欧拉公式，我们可以将复数 z 表示为：
z = |z| * exp(i*arg(z))
其中，exp 是指数函数，exp(i*θ) 表示一个长度为 1，方向为 θ 的向量。在极坐标系中，这个向量的起点是原点，终点是点 P。
将上面的式子展开，得到：
z = sqrt(x^2 + y^2) * (cos(arg(z)) + i*sin(arg(z)))
这个式子表示，复数 z 可以表示为一个长度为 |z|，方向为 arg(z) 的向量，也就是一个点在极坐标系中的坐标。
因此，我们可以使用欧拉公式将点 P 在直角坐标系中的坐标 (x, y) 转换为其在极坐标系中的坐标 (r, θ)，其中：
r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = atan(y/x)
同样的，我们也可以使用欧拉公式将点 P 在极坐标系中的坐标 (r, θ) 转换为其在直角坐标系中的坐标 (x, y)，其中：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
这就是欧拉公式转换坐标系的推导过程。
欧拉公式cosx等于什么
欧拉公式cosx=(e^ix+e^-ix)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
推导过程：
因为cosx+isinx=e^ix；
cosx-isinx=e^-ix。
两式相加，得：2cosx=e^ix+e^-ix，把2除过去就可以得到cosx=(e^ix+e^-ix)/2。
两式相减，得：2isinx=e^ix-e^-ix,把2i除过去就可以得到sinx=(e^ix-e^-ix)/2i。
