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截长补短法的经典例题,截长补短法构造全等三角形

admin admin 发表于2024-04-08 07:11:45 浏览26 评论0

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征集初中阶段几何学中“截长补短”法解决问题的典型例题.

人说几何很困难,难点就在辅助线.
辅助线,如何添?把握定理和概念.
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验.
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线.
也可将图对折看,对称以后关系现.
角平分线平行线,等腰三角形来添.
角平分线加垂线,三线合一试试看.
线段垂直平分线,常向两端把线连.
[例题1]
如图1,D是⊿ABC的边AC的中点,延长BC到点E,使CE=BC,ED的延长线交AB于点F,求ED∶EF.
分析：
思路一：过C作AB的平行线交DE于G,由D是AC的中点可得FD=DG,由CE=BC可得FG=GE,从而得ED∶EF=3∶4.
思路二：过D作BE的平行线交AB于I,类似法一得ID∶BC=1∶2,ID∶BE=1∶4,从而得ED∶EF=3∶4.
思路三：过D作AB的平行线交BE于H,易得BH=HC=1/4BE,得ED∶EF=3∶4.
说明：本题三种思路所添加的三条平行线,均是为了充分利用“D是⊿ABC的边AC的中点”这一条件,使本来感觉比较薄弱的一个条件,在平行线的作用下变得内涵丰富,既有另外一边的中点出现,又可以利用三角形的中位线定理,这样使用起来就更加得心应手.
构造图形,补题设(已知)的不足有时必须添加一些图形,使题设条件能充分显示出来,从而为定理的应用创造条件,或者使不能直接证得的结论转化为与它等价的另一个结论,便于思考与证明.
[例题2]
已知：O是正方形ABCD内一点,∠OBC=∠OCB=15°求证：⊿AOB是等边三角形.
分析：
(如图2)构建三角形OMC.使DH⊥OC于H,则∠2=15°作∠DCM=15°则⊿DMC≌⊿BOC且∠MCO=60°DM=MC=OC=OM
∴∠DMO=360°-60°-150°=150° ∴∠1=∠MOD=15° 从而有∠DOC=∠DCO=75°,DO=DC=AD=AB=AO
说明：本题就是利用辅助线构造出一个和要证明的结论类似的等边三角形,然后借助构造出的图形解答题目.
把分散的几何元素聚集起来
有些几何题,条件与结论比较分散.通过添加适当的辅助线,将图形中分散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上,使他们相对集中、便于比较、建立关系,从而找出问题的解决途径.
[例题3]
如图8,△ABC中,∠B=2∠C,且∠A的平分线为AD,问AB与BD的和等于AC吗?
思路一：如图9,在长线段AC上截取AE=AB,由△ABD≌△AED推出BD=DE,从而只需证EC=DE.
思路二：如图10,延长短线段AB至点E,使AE=AC,因而只需证BE=BD,由△AED≌△ACD及∠B=2∠C,可证∠E=∠BDE,从而有BE=BD.
思路三：如图10,延长AB至E,使BE=BD,连接ED,由∠ABD=2∠C,∠ABD=2∠E,可证△AED≌△ACD,可得AE=AC,即AC=AB+BD.
说明：这道例题就是利用辅助线,把本来不在一条直线的线段AB与BD聚集到一条直线上来,这样就可以轻松得到AB+BD或者AC—AB,然后题目就迎刃而解了.
平面几何中添加辅助线的方法是灵活多变的,这就要求我们熟练掌握数学中的基本概念和基本定理,在实践探索中经常进行归类总结,仔细分析题目给我们的条件,找到隐含的及一些有规律的信息.
来源
要证线段倍与半,延长缩短可试验.
三角形中两中点,连接则成中位线.
三角形中有中线,延长中线等中线.
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点.
梯形里面作高线,平移一腰试试看.
平行移动对角线,补成三角形常见.
证相似,比线段,添线平行成习惯.
等积式子比例换,寻找线段很关键.
直接证明有困难,等量代换少麻烦.
斜边上面作高线,比例中项一大片.

初二数学截长补短题

例1 已知：如图1-1所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A + ∠C = 180° 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明： 在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM ∵ AB = BE 又∵ BD平分∠ABC A D ∴ ∠ABD = ∠EBD 在△ABD与△EBD中, AB = BE ∠ABD = ∠EBD BD = BD B E M C ∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1 ∴ AD = ED ∠A = ∠BED ， ∵AD = DC ， ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC ∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180° 例2 已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分EAB、CBA，EC过点D。 求证：AB=AE+BC 分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且EDC=180°，又由于AE//BE，因此E+C=180°从而EAB+CBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出1+4=90°，从而可推证出ADB=90°，因而6+8=90°。若能推证出7=8，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，1=2，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则5=6，由于5+7=90°因此，6+7=90°，又由于6+8=90°，从而可推出7=8，由此可由AD是公共边，3=4推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。 证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。 ∴ BD是ABC的平分线，∴1=2 在DBDF和DBDC中 （公共边） ∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2 ∴5=6（全等三角形对应角相等） ∴3+8+E=4+1+5+7=2+6+C=180°（三角形内角和定理） ∴E+EAB+ABC+C+EDC=540° 又∴AE//BC∴E+C=180°（两直线平行同旁互补） 又∵EDC=180°∴1+2+3+ 4=180° ∴AD是EAB的平分线 ∴3=4 ∴1+4=90° ∴5+7=90°（三角形内角和定理） ∴6+8=90° ∵5=6 ∴ 7=8 在DAED和DAFD中 ∴DAED≌DAFD (ASA) ∴AE=AF（全等三角形对应边相等） ∵ AF+FB=AB ∴AE=FB=AE+BC=AB 即AB=AE+BC 分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于5=6，AE//BC，因此可推出3=F，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，E+BCE=180°，因此可知EAB+CBA=180°，又由于AD、BD是EAB、CBA的平分线，从而可推出1+4=90°，因此ADB=90°，则EDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。 证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F 在DAED、DADB、DBDC中 三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理） 又∵EDC=180°（平角定义） ∴E+C+EAB+ABC=180° AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补） ∴3+4+1+2=180° 又∴AD、BD分别是EAB、ABC的平分线 ∴3=4，1=2（角平分线定义） ∴1+4=90° ∴ADB=90°（三角形内角和定理） ∴BDF=90° 在DADB和DBDF中 ∴DADB≌DBDF(ASA) ∴AD=FD, AB=FB，4=F（全等三角形对边，对应角相等） 如图2-3 在DAED和DFCD中 ∴DAED≌DFCD ∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC 例3 已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC, 求证：AB—AC＞BD—DC 分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。 证明： 方法一： 截长法 在AB上截取AE = AC，连接ED。 A ∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△ADE与△ADC中, E AE = AC ∠EAD= ∠DAC B D C AD = AD 如图3-1 ∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C 在△ABD中，BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边） 即AB—AE＞BD—DC ∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换） 方法二： 补短法 延长AC到点E，使AE = AB，连接DE A ∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△BAD与△EAD中, AB = AE C ∠BAD = ∠DAC B D E AD = AD ∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2 在△ABD中， EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边） 即AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC 例4 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD. 分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC. 证明：方法一（补短法） 延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2 图4-2 ∴∠ACB＝2∠E， ∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E， 在△ABD与△AED中, ∴△ABD≌△AED（AAS） ,∴AB=AE. 图4-3 又AE=AC+CE=AC+DC， ∴AB=AC+DC. 方法二（截长法） 在AB上截取AF=AC，如图4-3 在△AFD与△ACD中, ∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD. 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B， ∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD， ∴AB=AC+CD.

截长补短法的经典图形

关于“截长补短法的经典图形”如下：
截长补短法是一种常用的几何解题方法，它的核心思想是通过辅助线的帮助，将一个多边形的长或宽进行分割，然后通过补足或截取的方式，将多边形转化为一个或几个已知的几何图形，从而解决多边形的面积、周长等问题。
以下是几个经典的截长补短法图形：
矩形ABCD中，AC、BD为对角线，延长CB至E，使CE=CA，再延长DA至F，使AF=AD。连接EF、EB，求证：EF=2BD。
这个图形可以看作是将矩形ABCD的对角线AC、BD进行了截长补短。通过延长CB至E，使CE=CA，再延长DA至F，使AF=AD，我们可以将矩形ABCD分成两个小的矩形和一个正方形。连接EF、EB后，可以发现EF其实就是两个小矩形的对角线之和，也就是2BD。
矩形ABCD中，延长CB至E，使CE=CA，连接AE、BD。求证：AE=BD。
这个图形同样是将矩形ABCD的一条对角线AC进行了截长补短，使它变成了一条与矩形的一边平行的线段。通过连接AE、BD后，可以发现AE其实就是两个小矩形的对角线之和，也就是BD。
直角三角形ABC中，延长AB至D，使BD=BC，连接CD。求证：AD=2AB。
这个图形是将直角三角形ABC的一条直角边BC进行了截长补短，使它变成了一条与斜边AB平行的线段。通过连接CD后，可以发现AD其实就是两个小直角三角形的斜边之和，也就是2AB。
这些经典的截长补短法图形都是通过巧妙地分割和转化多边形，将复杂的问题转化为简单的问题来解决。它们不仅展示了截长补短法的灵活性和实用性，也给我们带来了更多的启示和思考。

截长补短法构造全等三角形

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
截长边
如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。
求证：AB=AC+CD。
证明:
截长边，证全等
在AB上截取AE=AC，
∵AD平分∠BAC交BC于点D
∴∠CAD=∠BAD
在△ACD和△AED中
AC=AE
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△AED（SAS）
2.由全等，推等腰
∴∠AED=∠C,CD=ED
∵∠C=2∠B
∴∠AED=2∠B
又∵∠AED=∠EDB+∠B
∴∠EDB=∠B
∴EB=ED
∴CD=EB
3.转换边，得结论
∵AB=AE+EB
∴AB=AC+CD

数学求截长补短发和倍长中线法练习及答案

例1 如图1-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求证：CD=AD+BC.
分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.

截长补短法构造全等三角形

截长补短法构造全等三角形如下：
一般情况下，三条不在同一三角形中的数量关系无外乎以下几种:其中两条线段的和或差等于第三条线段(或其倍数)；符合勾股定理:其中两条线段的平方和或差等于第三条线段。结合本题所给的条件及图形，我们可以猜想:BC=AD+AB。
分析:AD、AB、BC中三条线段既不在同一个三角形中也不在两个相关的三角形中，所以要比较它们之间的数量关系，我们就需要把其中的一条或两条线段转化一下。我们可以在线段BC上取一点M，使BM=AB，只需证明MC=AD即可(截长法)；或在射线AP上线取点N，使AN=AB，证明DN=BC即可(补短法)。
数学不好怎么办：
老师讲课是有重点也有顺序的。上课时，老师会将老师讲过的知识点给同学们讲一遍，然后同学们用自己的话进行总结知识点。并且和老师把重点讲出来。这是个积累，如果你有可能自己以后的数学成绩会更好。而且也能更好地掌握基础知识。比如数学老师讲到“数形结合”以后，每个学生都可以理解为是老师将它们画在一起的。
数学不好的同学应该将重点放在“先”上。因为数学老师讲课，在后面还会涉及到一些数学知识，还有其他一些解题方法。所以同学们在上课时一定要认真听讲，不要在听课时走神。只有把知识点都学会了才能更好地掌握知识。
听老师讲课的时候，一定要听懂，而不是听老师说完之后就完事了。只有真正听懂了，才能理解老师讲和自己概念一致的内容。如果自己都不懂，那肯定是听不懂老师说的内容，也学不好那一类课。
想要学好数学那是根本上不去，只能拼命努力去学，多交一些朋友，或者是找一个好的学习方法，提高自己这方面的能力，而不是为了自己学习。那样只会导致越学越差。

要用截长补短法，什么意思啊Q_Q 题目：三角形ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且角ABP＋角

证明：在BP的延长线上取点D，使PC＝PD，连接CD
∵等边△ABC
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60
∵∠BAC+∠BPC+∠ABP+∠ACP＝360, ∠ABP+∠ACP＝180
∴∠APC＝360-180-60＝120
∴∠CPD＝180-∠BPC＝60
∵PC＝PD
∴等边△PCD
∴PC＝DC，∠PCD＝60
∴∠ACB＝∠PCD
∵∠ACP＝∠ACB+∠BCP，∠BCD＝∠PCD+∠BCP
∴∠ACP＝∠BCD
∴△ACP≌△BCD （SAS）
∴BD＝PA
∵PB+PD＝BD
∴PB+PC＝BD
∴PB+PC＝PA

初三数学证明题（截长补短法）

旋转法：如图将三角形BCF延B点按逆时针方向旋转90°得到新的三角形ABF′，目的证明BE=EF′。
因为角F′=角BFC
角ABF′+角ABE=角CBF+角ABE=角EBF+角ABE=角ABF,
而角ABF=角BFC
所以角F′=角ABF′+角ABE=角EBF′
所以三角形EBF′为等腰三角形，BE=EF′
所以BE=EF′=AE+AF′=CF+AE