本文目录一览：
- 1、计算n阶行列式典型例题【构造三阶行列式 研究国内外试题】
- 2、用构造法求行列式的例题？
- 3、n阶行列式的典型例题
- 4、求助几道关于行列式和矩阵的题目。
- 5、行列式计算题
- 6、行列式的题目，求详细步骤。
- 7、行列式应用题
- 8、范德蒙行列式如何计算例题
- 9、线性代数行列式几道题,求解
- 10、求几道行列式的题
计算n阶行列式典型例题【构造三阶行列式 研究国内外试题】
江苏姜堰励才实验学校225500 摘 要：本文通过构造三阶行列式，运用“三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零”的定理，对部分国内外数学竞赛试题进行研究，并探索出一些新颖且富有创意的解法.
关键词：构造；三元齐次线性方程组；三阶行列式
[?]解代数问题
例1（第8届美国数学邀请赛试题）若实数a，b，x，y满足ax+by=3，ax2+by2=7，ax3+by3=16，ax4+by4=42，求ax5+by5的值.
解析 记Sn=axn+byn（n∈N+），知S1=3，S2=7，S3=16，S4=42. 由于axn+2+byn+2=（x+y）?（axn+1+byn+1）－xy?（axn+byn），因此Sn+2=（x+y）?Sn+1－xySn. 取n=1，2，3得
（x＋y）S2－xyS1－S3=0，
（x＋y）S3－xyS2－S4=0，
（x＋y）S4－xyS3－S5=0.
上述关于x+y，－xy，－1的三元齐次线性方程组有非零解，因此
D=S2S1S3
S3S2S4
S4S3S5=0，
即7 3 16
167 42
4216S5=0.
展开后，解得S5=20. 所以ax5+by5=20.
例2 （2006湖北天门高中数学竞赛题）已知：log157=a，log215=b，log353=c. 求证：ab+bc+ca+2abc=1.
证明因为log157=a，所以由对数换底公式，得=a. 所以lg7=alg（5×3）.
即有 alg3+alg5－lg7=0.①
同理可得blg3－lg5+blg7=0，②
lg3－clg5－clg7=0.③
把①②③看做是关于lg3，lg5，lg7的三元齐次线性方程组ax+ay－z=0，
bx－y+bz=0，
x－cy－cz=0.
故其有非零解，其中x=lg3，y=lg5，z=lg7. 所以a a －1
b －1b
1 －c－c=0.
展开即得ab+bc+ca+2abc=1.
[?]解“牛顿公牛吃草”问题
例3 有三片牧场，场上的草是一样的密，而且长得一样快. 它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷. 第一片牧场饲养12头牛可以维持4星期；第二片牧场饲养21头牛可以维持9星期. 在第三片牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18个星期？（这是17世纪美国著名数学家、科学家牛顿在他的名著《普通算术》中提出的问题）
解析设每公顷原有草x千克，每星期每公顷生长新草y千克，第三片牧场可饲养z头牛，每头牛每星期吃草a千克，则依题意得方程组
3
x+3×4y=12a×4，
10x+10×9y=21a×9，
24x+24×18y=18az，
化简整理得10x+40y－144a=0，
10x+90y－189a=0，
4x+72y－3za=0.
这是一个关于x，y，a为未知数的三元齐次性线方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D=10 40 －144
10 90 －189
472 －3z=0，
展开即得z=36. 故在第三片牧场上饲养36头牛恰好可以维持18个星期.
[?]解三角问题
例4 （第33届俄罗斯数学奥林匹克十年级试题）若a=b?cosC+c?cosB，
b=a?cosC+c?cosA，
c=a?cosB+b?cosA（a，b，c不同时为0），求证：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.
证明将已知的三个等式变形为
a－b?cosC－c?cosB=0，
－a?cosC+b－c?cosA=0，
－a?cosB－b?cosA+c=0.
由方程根的定义可知a，b，c（不同时为0）是三元齐次线性方程组
x－y?cosC－z?cosB=0，
－x?cosC+y－z?cosA=0，
－x?cosB-y?cosA+z=0的一组非零的解. 于是有
D=1 －cosC －cosB
－cosC 1 －cosA
－cosB －cosA 1=0，
展开即得cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.
[?]解几何问题
例5 （1978辽宁中学数学竞赛题）设AM是△ABC中BC边上的中线，任作一直线分别交AB，AC，AM于点P，Q，N.
求证：，，成等差数列.
证明如图1，由于线段AB，AM，AC中的两条分别是△ABM，△ACM和△ABC的两条边；线段AP，AN，AQ中的两条分别是△APN，△AQN和△APQ的两条边，而且S△ABC=S△ABM+S△ACM，S△APQ=S△APN+S△AQN，S△ABM=S△AMC .
[A][P][B][M][C][N][Q]
图1
故利用三角形面积公式，并通过构造三元齐次线性方程组，可得到巧妙证明如下.
设∠BAM=α，∠CAM=β，AB=c，AC=b，AP=p，AQ=q，AM=m，AN=n.由于MB=MC，故利用三角形面积公式可得到
pqsin（α＋β）-pnsinα－qnsinβ=0，
bcsin（α＋β）-cmsinα－bmsinβ=0，
csinα－bsinβ=0.
则sin（α＋β），sinα，sinβ是三元齐次线性方程组
pqx－pny－qnz=0，
bcx－cmy－bmz=0，
cy－bz=0的一组非零解，
故其系数行列式等于0. 因此
D=pq －pn －qn
bc －cm －bm
0 c －b=0，
展开后整理得bc（2pqm－cqn－bpn）=0. 因为bcpqn≠0，所以两边同除以bcpqn，得+=，即+=. 因而，，成等差数列.
综上所述可知：应用上述定理，解证国内外数学竞赛题的关键在于根据题设条件列出关于三个未知数的三个线性方程，然后根据未知数的系数写出三阶行列式，最后展开行列式，求得结果. 此法新颖别致，颇有规律，值得介绍.
依据新课程改革的理念要求，平时的教学过程中，注意对国内外试题的研究，对帮助学生理解课本内容、提高解题水平、启迪思维、拓宽视野，颇有益处. 这样的专题研究，既有利于引导学生系统灵活地掌握学过的知识，提高学习效率，又有利于提高学生数学思维的能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力，对培养学生的探索精神和创新意识也会起到很好的作用.
总之，笔者认为：在数学教学过程中，认真学习和研究国内外的数学试题是每一位中学数学教师必须探讨和研究的一个课题，值得提倡. 我们相信，只要每位教师的研究方法恰当、研究措施得力、研究计划到位，就能有效地提高教师的素质，使课程改革中关于对试题的研究理念得到进一步升华.
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用构造法求行列式的例题？
构造法: 根据题设条件构造一个新行列式再进行计算。 n阶行列式的典型例题：1，求|1 2 3|的结果： 个人推荐用matlab计算 解: (1) 用性质化箭形行列式 假设A种糖果xkg,B种糖果ykg,C种糖果zkg 范德蒙得行列式如下图： 授人以鱼不如授人以渔 求你的行列式代替，那么行列式要根据行列式性质来计算，是比较简单的
例：计算
1 a1 a12 ... a1^(n-2) a1^n
1 a2 a22 ... a2^(n-2) a2^n
Dn = ... ...
1 an an2 ... an^(n-2) an^n
解: ( 1) 当a1, a2, ... , an 有两个相等时, Dn=0；
(2)当a1, a2, ... , an 互不相等时, 在Dn 中加一行加一列, 配成范德蒙行列式, 即
1 a1 a12 ... a1^(n-2) a1^(n-1) a1^n
1 a2 a22 ... a2^(n-2) a1^(n-1) a2^n
Dn+1(y) = ... ...
1 an an2 ... an^(n-2) a1^(n-1) an^n
1 y y2 ... y^(n-2) y^(n-1) y^n
由于Dn 是多项式Dn+1(y)中y^(n-1) 的系数的相反数。
由上式右端知y^(n-1)的系数为：
n
( - ∑ ai ) ∏ ( aj - ai )
i=1 i
n
∴Dn= ( ∑ ai ) ∏ ( aj - ai )
i=1 in阶行列式的典型例题
2，解答：|4 5 6|=1*|5 6 |+（-1）*2*|4 6|+3*| 4 5|
3，使用代数余子式来计算，选取矩阵的一行，分别用该行的各个元素乘以相应的代数余子式，再求之和即可。
4，代数余子式是出去该元素所在行、列的元素后剩下的元素组成的矩阵的行列式再乘以一个符号 (-1)^(i+j),i，j是该元素所在的行与列数。
拓展资料：n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。
按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为
，它的展开式为ad-bc。
九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为
，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。
在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。
第n行乘1/a n-1,加到第n-1行 第n-1行乘1/a n-2,加到第n-2行 依次类推，， 对角线上a1 到a n-1项都不会变， 就第一项会变，你加一下就好了，变成下三角，对角线相乘即可。
1、先把最后一行移上去
2、然后经过不断换行，变成如图形式
n的阶乘前面是调节行列式符号的。
拓展资料n阶行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变。
性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
参考资料n阶行列式解题技巧求助几道关于行列式和矩阵的题目。
忘记了 第一题好像要整行加减
1.解: 原行列式 =
1 2 2 200+1
-2 2 1 100-2
-1 3 3 300-1
3 5 1 100+3
=
1 2 2 200 1 2 2 1
-2 2 1 100 + -2 2 1 -2
-1 3 3 300 -1 3 3 -1
3 5 1 100 3 5 1 3
第1个行列式2,4列成比例, 第2个行列式1,4列相同
所以原行列式
= 0 + 0 = 0.
2.解: AB =
0 1
-2 0
(AB)^2 =
-2 0
0 -2
(AB)^2-AB-I =
-2 0 0 1 1 0
0 -2 - -2 0 + 0 1
=
-1 -1
2 -1
3.解: AB^T-A = A(B^T-E)
因为 |B^T-E| =
2 0 2
0 4 0
0 0 -2
= -16≠0
所以 B^T-E可逆,
所以 r(AB^T-A) = r(A(B^T-E)) = r(A).
A=
1 -1 2
2 1 -3
-1 -2 5
r2-2r1,r3+r1
1 -1 2
0 3 -7
0 -3 7
r3+r2
1 -1 2
0 3 -7
0 0 0
所以 r(A)=2
所以 r(AB^T-A) = 2.
[注: 不必计算AB^T-A]
满意请采纳^_^行列式计算题
ri-r1, i=2,3,...,n --所有行减第1行
x1 a2 ... an
a1-x1 x2-a2 ... 0
... ...
a1-x1 0 ... xn-an
第i列提出(xi-ai), i=1,2,...,n
D = ∏(xi-ai) *
1+a1/(x1-a1) a1/(x2-a2) ... an/(xn-an)
-1 1 ... 0
.... ..... .....
-1 0 ... 1
c1+c2+...+cn --所有列加到第1列
1+∑ai/(xi-ai) a1/(x2-a2) ... an/(xn-an)
0 1 ... 0
.... ..... .....
0 0 ... 1
此为上三角行列式. 所以
D = ∏(xi-ai) * [1+∑ai/(xi-ai)].
(2) 加边法
行列式D =
1 a1 a2 ... an
0 x1 a2 ... an
0 a1 x2 ... an
... ...
0 a1 a2 ... xn
ri-r1, i=2,3,...,n --所有行减第1行
1 a1 a2 ... an
-1 x1-a1 0 ... 0
-1 0 x2-a2 ... 0
... ...
-1 0 0 ... xn-an
这也是箭形行列式, 处理方法与(1)类似.行列式的题目，求详细步骤。
(4) 用定义
D = (-1)^t(234...n1) n! = (-1)^(n-1) * n!
5(1).
c1+2c2-c3
行列式化为
(a-b)^2 ab b^2
0 a+b 2b
0 1 1
= (a-b)^2 (a_b-2b)
= (a-b)^3
5(2)
r3-r1,r4-r2
0 a b a
a 0 a b
b 0 -b 0
0 b 0 -b
第3,4行分别提出b
0 a b a
a 0 a b
1 0 -1 0
0 1 0 -1
r2-ar3,r1-ar4
0 0 b 2a
0 0 2a b
1 0 -1 0
0 1 0 -1
r1<->r3,r2<->r4
1 0 -1 0
0 1 0 -1
0 0 b 2a
0 0 2a b
行列式 = b^2(b^2-4a^2) = b^4-4a^2b^2.
5(3)
7.
r2-3r1, r3-r1
x y z
3 0 2
2 2 2
第3行提出 2
= 2*1
=2行列式应用题
则奶糖的数量为4/(4+3+2)x+3/(3+1+6)y+2/(2+5+1)z=4/9x+3/10y+2/8z
巧克力糖的数量为3/(4+3+2)x+1/(3+1+6)y+5/(2+5+1)z=3/9x+1/10y+5/8z
水果糖的数量为2/(4+3+2)x+6/(3+1+6)y+1/(2+5+1)z=2/9x+6/10y+1/8z
有方程x+y+z=50
4/9x+3/10y+2/8z=3/9x+1/10y+5/8z=2/9x+6/10y+1/8z
如果列成行列式的话为 (4/9 3/10 1/4)(x) (50/3)
(1/3 1/10 5/8)(y)= (50/3)
(2/9 3/5 1/8)(x) (50/3)
竖排的三个小括号相当于一个大括号,条件有限打不出来,谅解吧范德蒙行列式如何计算例题
一个e阶的范德蒙行列式由e个数c1，c2，…，ce决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c1，c2，…，ce各个数的0次幂，它的第2行就是c1，c2，…，ce（的一次幂），它的第3行是c1，c2，…，ce的二次幂，它的第4行是c1，c2，…，ce的三次幂，…，直到第e行是c1，c2，…，ce的e-1次幂。
扩展资料利用行列式展开法则,按第5列展开,得到的展开式如下:
A15 + (-A25) * x + A35 * x^2 + (-D) * x^3 + A55 * x^4 [其中A为代数余子式,D为前面的四阶行列式的值]
由范德蒙行列式计算公式,得出该五阶行列式的值为:
(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
它和上面的展开式相等，我们所需要的是行列式D的值，所以我们需要算的就是展开式中x^3的系数，所以得出D＝(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)线性代数行列式几道题,求解
1.把第一行的元素加到其他行，可得
1111
0222
0022
0002
答案显而易见，8
2.把后三行的元素加到第一行，可得
10 10 10 10
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
再把10提出去，有10乘以
1 1 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
后面几行分别减去第一行分别乘他们的第一个元素，有10乘以
1 1 1 1
0 1 2 -1
0 1 -2 -1
0 -3 -2 -1
第三行减去第二行，有10乘以
1 1 1 1
0 1 2 -1
0 0 -4 0
0 -3 -2 -1
第四行加上第二行乘3，有10乘以
1 1 1 1
0 1 2 -1
0 0 -4 0
0 0 4 2
第四行再加上第三行，有10乘以
1 1 1 1
0 1 2 -1
0 0 -4 0
0 0 0 2
最后得到，10×（-4）×2=-80
下面的太多了，你把邮箱留给我，我用word写给你
(4)
2,3,4列都加到第一列
x -3 3 x-3
x -3 x+3 -3
x x-3 3 -3
x -3 3 -3
提出x
=x*
1 -3 3 x-3
1 -3 x+3 -3
1 x-3 3 -3
1 -3 3 -3
第一列乘以3加到第二列，第四列，第一列乘以-3加到第三列
=x*
1 0 0 x
1 0 x 0
1 x 0 0
1 0 0 0
按最后一列展开
=x*(-x)*
1 0 x
1 x 0
1 0 0
按最后一列展开
=x*(-x)*x*
1 x
1 0
=x*(-x)*x*(-x)
=x^4
(9)第一列加到第二列
然后第二列加到第三列
第三列加到第四列
。。。
倒数第二列加到最后一列
= -a1 0 0 0 ......0 0
0 -a2 0 0 ......0 0
0 0 -a3 0...... 0 0
0 0 0 0 ....an 0
1 2 3 4 .... n n+1
是上三角，行列式就是对角元素相乘
=(n+1)a1*a2*...*an
2(1)显然行列式展开的话是一个关于x的四次方程
最多有四个解
观察发现，只要x^2-2=-1
第一第二列就一样，所以行列式=0
x^2=1
x=±1
再观察发现
8-x^2=2*2=4时
最后一列是第三列的两倍，所以行列式也为0
所以x^2=4
x=±2
一共最多四个解，我们有了四个，所以是所有的解
x=±1,±2
(2)第四列=第四列-第三列
第三列=第三列-第二列
第二列=第二列-第一列
=
a^2 2a+1 2a+3 2a+5
b^2 2b+1 2b+3 2b+5
c^2 2c+1 2c+3 2c+5
d^2 2d+1 2d+3 2d+5
第四列=第四列-第三列
第三列=第三列-第二列
=
a^2 2a+1 2 2
b^2 2b+1 2 2
c^2 2c+1 2 2
d^2 2d+1 2 2
最后两列完全一样
行列式=0
(2)选择利用第三行那个0
第一列乘以-2加到第二列
第一列乘以-1加到第四列
=
3 -1 -1 -1
-4 13 3 1
1 0 0 0
2 -4 -3 2
按第三行展开
=
-1 -1 -1
13 3 1
-4 -3 2
第三列乘以-1加到第一第二列
=
0 0 -1
12 2 1
-6 -5 2
按第一行展开
=(-1)(12*(-5)-(-6)*2)
=48
(4)第二行乘以-1加到第一行
第四行乘以-1加到第三行
=
x x 0 0
1 1-x 1 1
0 0 y y
1 1 1 1-y
第一第三行提出x，y
=xy*
1 1 0 0
1 1-x 1 1
0 0 1 1
1 1 1 1-y
第一行乘以-1加到第二,四行
第三行乘以-1加到第二,四行
=xy*
1 1 0 0
0 -x 0 0
0 0 1 1
0 0 0 -y
上三角，对角线元素相乘即得
=xy*(1*(-x)*1*(-y))
=x^2y^2求几道行列式的题
这些题呀，看着也挺复杂的，而且有些东西看的不是特别清楚，不太了解，你可以问问别人。
如图，第一题直接按第一行或者第一列降阶就可以看清楚4个余子式中，第一个是四次方，第3、第4个最高只有2次方，只有第2个可以得到3次方。
第2题把第一行加到第4行，提出系数10，调整次序得到范德蒙行列式，-10*3*2*1*2*1*1=-120
第3题，基本运算，按第3行降阶即可。第2问理解余子式展开的基本功，自然知道对应加上负号即可。
都比较基础，不应该放弃锻炼机会。不然容易的都不肯练习，后面越来越跟不上进度。
