本文目录一览：
- 1、实数包括什么？
- 2、实数的定义是什么？
- 3、实数的定义是什么
- 4、实数的定义
- 5、实数的定义是什么？
- 6、实数是指什么
- 7、什么是实数，有什么意义？
- 8、实数是什么？
- 9、实数的概念是什么 实数的概念都是什么
- 10、什么是实数？
实数包括什么？
实数包括有理数和无理数。
实数由一个五元组（R，+，0，×，1，≤）定义，其中，R是一个无限的集合；“+”和“×”是对R中元素的二元运算，“0”和“1”是R中特别重要的元素，“≤”是R中元素的二元关系。
多元组的元素必须满足一组公理，称作域公理。实数是域这种数学结构的一个典型例子。域作为一种基础结构，在数学王国被广泛使用。
需要了解代数，才能了解域这种结构的基础。通常使用一个域公理集合来定义域。
扩展资料
实数（所有值域）有两种主要的运算：加法和乘法。这两种运算需要在某种方式下合作。
1、“+”和“×”满足交换律：a+b=b+a，a×b=b×a。
2、“×”对于每个“+”满足分配律。意思是（3+4）×5=3×5+4×5。
3、对于“+”运算，0是唯一的恒等值。对所有的a，a+0=a。
4、对于R里面的每一个数x，有且只有一个数-x，称作x的加法逆元，满足x+（-x）=0，并且对于所有x≠0，x≠-x。
5、对于“×”运算，1是唯一的恒等值。对所有的a，a×1=a。
有理数和无理数
无限不循环小数，叫做无理数.
注意无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环。
实数集简介：
通俗地认为，通常包含所有有理数和 无理数的集合就是 实数集，通常用大写字母 R表示。
18世纪， 微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
任何一个非空有 上界的集合（包含于 R）必有 上确界。
设 A、 B是两个包含于 R的集合，且对任何 x属于 A， y属于 B，都有 x< y，那么必存在 c属于 R，使得对任何 x 属于 A， y属于 B，都有 x< c< y。
符合以上四组 公理的任何一个集合都叫做 实数集，实数集的元素称为 实数。
实数是有理数和无理数的总称，包括0。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
扩展资料性质
1.封闭性
实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
2.有序性
实数集是有序的，即任意两个实数
3.传递性
实数大小具有传递性，
4.阿基米德性质
实数具有阿基米德性质（Archimedean property）
5.稠密性
实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
参考资料：百度百科-实数
包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。无理数可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母
r
或
r^n
表示。而r^n
表示
n
维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后
n
位，n
为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）
实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）
实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变）
②a为0时，
|a|=0
③a为负数时，|a|=
-a（为a的绝对值）
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)
3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）
实数a的倒数是：1/a
（a≠0）
4）数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
(2）数轴上的点与实数一一对应
实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”（任何实数都可在数轴上表示）。
实数的定义是什么？
实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
实数是有理数和无理数的总称，通常用黑正体字母R表示。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作实数意义是实在的数。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
实数的运算定理
1、加法：
(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。
2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法：
(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法：
(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。
5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
实数中的几个概念：
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（1）实数a的相反数是-a；（2）a和b互为相反数a+b=0。
2、倒数：（1）实数a（a≠0）的倒数是1/a；（2）a和b 互为倒数；（3）注意0没有倒数。
3、绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n次方根
（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称叫a的平方根，叫a的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：叫实数a的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
实数的定义是什么
实数可以通过不等式、数列、函数等多种方式定义，以下是一般的实数定义：
1、实数是一种数学对象，包括所有的有理数和无理数，可以用于测量和计算物理量等。实数可以表示为无限小数，或用分数表示为有理数或者以代数方式表示为根式或无理数的形式。
2、实数可以进行四则运算（加减乘除），并满足一些性质，如结合律、交换律、分配律等。实数具有一个全序关系，也就是说任意两个实数都可以比较大小。
3、在实数集合中，有理数是可以表示为两个整数之商的数，无理数则不能。
实数集合具有以下性质：
1、实数集合是一个有序集合，即实数之间可以比较大小。
2、实数集合是一个完备的数学集合，也就是说，实数集合中的每个实数都有一个唯一的位置，并且没有任何实数可以填补这个位置，这一性质也称为实数集合的连续性。
3、实数集合包含有理数和无理数，而有理数和无理数又可以分为代数数和超越数两类。
4、实数集合具有一些基本运算法则，如加法、减法、乘法、除法、乘方等。
5、实数集合中的数可以表示为无限小数或者有理数的形式。
实数是一种基本的数学概念，它在数学中扮演着重要的角色。实数集合的定义与性质也是数学中基础的知识，对于各个领域的数学研究都具有重要的影响。
实数的定义
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
扩展资料实数的分类
一、按定义分：有理数、无理数。
1、有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
2、无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e。
二、按正负分：正数、负数、0。
1、正数是数学术语，比0大的数叫正数（positive number），0本身不算正数。正数与负数表示意义相反的量。正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。
2、负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如?2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。一个负数是其绝对值的相反数。
3、0是介于-1和1之间的整数。是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的所有倍数都是0。0不能作为除数。
参考资料来源：百度百科—实数
包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
这是初中的知识点。
有理数和无理数统称为实数。
这是初中的知识点。有理数和无理数统称为实数。 有理数和无理数统称为实数，这是中学的定义。至于实数的严格定义，有康托尔的基本列说，戴德金的分割
戴德金方法：有人批评戴德金分割（A，B）存在不够完备的地方。因为按照他定义无理数的方法，即如果A中无最大数，B中也无最小数，则称此“分割”为一个无理数。针对这种定义，有批评者问：在A中无最大数，B中也无最小数时，必须事先证明A与B之间的“空隙”只能容纳一个点，才能将此“分割”定义为一个（无理数）实数，但戴德金并未作此证明，就将此分割定义为一个实数而不是若干个甚至无数个实数，此空隙内是否还有非实数存在，戴德金也未给出否定的证明，这是否是戴德金实数理论的缺陷？批评者说，数学家戴德金是为了证明实数的完备性才这样定义实数的，他用这个不合理的实数定义回避了无穷小危机。对此有反对者说，以上批评者说的“空隙”一词，是没有意义的；其说的“一个点“的”点“字也是没有意义的，而戴德金的“分割”一词是有严格的定义的，采用的是经典的集合论的概念。按照集合论中的概念，“同一个“分割和”不相同“的分割，区分是很明确的，逻辑是很严密的；“同一个“分割定义成同一个实数，”不同的“分割是不同的实数，因此说”空隙“是否”一个点“的问题天然就不存在。
康托方法：康托无疑是连续统（有理数与无理数的统称）理论的创始人之一，有人说他是“实数理论研究的终结者”。但是他在创建连续统理论的时候首先涉及的概念是有限与无限，但是他也没有给出严格的定义，因为这也是很困难的，因为有限与无限是一对矛盾。
包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。
扩展资料
实数的基本定理：
1、上（下）确界原理：非空有上（下）界数集必有上（下）确界。
2、单调有界定理：单调有界数列必有极限。具体来说：单调增（减）有上（下）界数列必收敛。
3、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）：对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
4、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）：闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
5、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）：有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
6、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）：有界数列必有收敛子列。
7、完备性（柯西收敛准则）：数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
参考资料来源：百度百科-实数
实数的定义是什么？
实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
扩展资料：
实数的性质有：
一、高级性质
实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。
二、拓扑性质
实数集构成一个度量空间：x和y间的距离定为绝对值(x-y)，作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。
三、完备性
实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R的子域。这样R是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。
参考资料来源：百度百科—实数
实数是指什么
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
1、实数的定义
实数是数学中包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，它们可以直观地看作小数（有限或无限的），能把数轴“填满”。实数和虚数共同构成复数。
在古希腊时期，数学家们认为有理数足以满足测量上的需要，但后来发现仅使用有理数无法精确表示某些长度，从古希腊到 17 世纪，数学家们逐渐接受无理数的存在，并将其与有理数平等地看作数，称为实数。实数系是完备的阿基米德有序域，是定义了算数运算的运算系统。
2、正数和负数
实数是一个包含正数、负数和零的集合，其中正数是大于0的实数，负数是小于0的实数。正数和负数都是不可数的无限集合。0既不是正数也不是负数，通常将0与正数统称为非负数，将0 与负数统称为非正数。与整数类似，非负整数包括0和正整数，非正整数包括0和负整数。
有理数与无理数
1、有理数的定义：
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。有理数可以写成a/b的形式，其中a和b是整数，且b≠0。有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
正有理数是大于0的有理数，负有理数是小于0的有理数，而零则是等于0的有理数。
2、无理数的定义：
无理数是指不能表示为两个整数之比的数，它们的小数形式是无限不循环的。无理数包括如根号2、圆周率π等著名数学常数。无理数的小数形式无法写成有限位数的小数或者循环小数，而是无限不循环的小数。
有理数和无理数在数学中有广泛的应用，它们共同构成了实数的体系。实数包括有理数和无理数，是数学中非常重要的基本概念。
什么是实数，有什么意义？
实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是唯一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
扩展资料：
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
整数和小数的集合也是实数，而整数和分数统称有理数，小数分为有限小数，无限循环小数，无限不循环小数（即无理数），其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即为整数-分数-无理数，也就是有理数-无理数，即实数。
实数是什么？
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数，就是：整数、小数，以及“带小数”的统称。
实数包括了：
整数（正整数、负整数、零）；
小数（正的、负的、有限的、无限的、循环的、不循环的）。
带小数（含有整数部分和小数部分）
这些，都是小学学过的知识吧？
实数，简单来说，就是：“数轴上所有的点”上的数字。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
虚数，是“实数与虚单位 i 的乘积”。
其中 i * i =－1。
由于 i 的存在，虚数就是“i 轴上所有的点”的数字。
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复数，包括实部和虚部两个部分。
一般是以实轴为水平、i 轴为垂直，构成一个“复平面”。
复数就是：“复平面上所有点”上的数字。
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
扩展资料：实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。
由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。
事实上这假设独立于ZFC集合论，在ZFC集合论内既不能证明它，也不能推出其否定。
实数的概念是什么 实数的概念都是什么
1、实数的概念是什么：实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
2、实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
3、所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是唯一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
什么是实数？
实数，就是：整数、小数，以及“带小数”的统称。
实数包括了：
整数（正整数、负整数、零）；
小数（正的、负的、有限的、无限的、循环的、不循环的）。
带小数（含有整数部分和小数部分）
这些，都是小学学过的知识吧？
实数，就是“数轴上所有的点”上的数字。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
虚数，是“实数与虚单位 i 的乘积”。
其中 i * i =－1。
由于 i 的存在，虚数就是“i 轴上所有的点”的数字。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
复数，包括实部和虚部两个部分。
一般是以实轴为水平、i 轴为垂直，构成一个“复平面”。
复数就是：覆盖“复平面”上所有点的数字。
01 实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数，实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应，但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
