无理数的概念,无理数的基本概念是什么

本文目录一览：

• 1、无理数是啥
• 2、无理数的概念是什么？
• 3、无理数概念是什么？
• 4、无理数的定义
• 5、无理数的基本概念
• 6、什么叫做无理数
• 7、无理数的概念是什么
• 8、无理数是什么？
• 9、无理数的基本概念是什么

无理数是啥

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能测量，即它们没有长度（即没有有理数长度）。著名的无理数有π（圆周率）、e（自然对数的底数）、根号2、根号3、根号5等等。
无理数的概念最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，他在研究勾股定理时，发现有些三角形的边长不能表示为两个整数之比。因此，他将这些不能表示为两个整数之比的数称为无理数。
无理数在数学中具有重要意义，它们在数学分析、几何、代数等领域都有广泛的应用。例如，在几何学中，圆周率和根号2等无理数经常出现在各种公式和定理中；在代数学中，根号、对数等运算都与无理数有关；在数学分析中，无理数也是研究函数、微积分等领域的重要概念。
无理数的特点：
1、不能用两个整数之比，即分数来表示。这是因为无理数不是有理数，不能写成两个整数之比。例如，根号2是一个无理数，因为它不能被表示为两个整数之比。
2、如果用小数来表示无理数，则是无限不循环小数。这是因为无理数不是有理数，不能写成有限小数或无限循环小数。例如，π是一个无理数，因为它的小数表示是无限不循环的。
3、无理数是无限不循环小数是可以被证明的。这是由于无理数的定义和性质所决定的。例如，我们可以使用反证法证明根号2是无理数。
4、无理数具备实数共同的3大特征，即无限性、有序性和稠密性。这是因为无理数是实数的一种，所以具有实数的共同特征。例如，无理数是无限的，因为存在无限多个无理数；无理数是有序的，因为可以对其进行比较和排序；无理数是稠密的，因为在任意两个不同的无理数之间总是存在至少一个无理数。

无理数的概念是什么？

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。
扩展资料：
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

无理数概念是什么？

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
无理数的性质：
1、无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
2、无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
3、无理数加（减）有理数一定是无理数。
4、无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。
有理数和无理数的区别：
1、性质区别：
有理数是两个整数的比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数；无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。
2、结构区别：
有理数是整数和分数的统称；无理数是所有不是有理数的实数。
3、范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算均可进行；无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。

无理数的定义

无理数的定义如下：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
简介：
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，也就是说它是无限不循环小数。常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
概念：
无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2（根号2）等。有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。
实数（real number)分为有理数和无理数(irrational number)。无理数应满足三个条件：是小数；是无限小数；不循环．圆周率π≈3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816

无理数的基本概念

无理数是数论中一个重要的概念，它是无理数在数论中的一个特殊存在。无理数(n)是指有理数m。m既是有理数也是无理数。有理数在数的构造和应用中发挥着重要作用。
一、基本概念
对任意一个有理数来说，其有理性不是确定的，而是可以确定的。对任意一个非有理数来说，其有理性不是确定的，而是确定的;对任何一个有理数来说，其有理性不是确定的，而是确定的;对任何一个非有理数来说，其有理性不是明确的。对无理数来说，不论其理性认识如何发展都不会改变它的非无理性;对非无理数来说，不管其理性认识如何发展都不会改变它的非无理性。数学中有两种不同类型的有理数：一个是绝对无理数(又称无理数为非无理数)或完全无理数;另一个是非无理数(又称不正常数)或完全无理数(又称有理数)或完全无理数(又称好数)(亦称好数)或完全无理数(又称无理数)。对于二者而言：后者指完全理、或好数的定义只有一个(即完全理);前者的一个近似形式之一。对无理数来说：即m是指任何无理数或者既是无理数也是任何有理数;对前者来说：即m既是有理数也是无理数;对后者来说：即m既是有理数也是无理数。
二、基本性质
a.m既不能再大，也不能再小,m是不可能变小的，对任意m,若m可以变小，则m为不可能变小;b.m的极限是不可能变大的，它是无限逼近无穷大的极限;c.m的极限只有一个，若m7个，则m只能是有限逼近无限接近无限逼近极限有限近似疯狂可接近等无止境!
三、理论证明
在证明无理数时，必须先证明有理数的性质，即:f(n)=f(m)。因为f(n)就是有理数，而且也不是非有理数。只有当f(n)具有一个比其实数略大一点的属性时，才能被认为是有理数进行讨论。因此如果f(n)=f(m)小于0,f(n)=1,则f(m)就是有理数具有的属性，否则也不能将f(n)作为无理数进行讨论。
四、结论
有理数作为一种特殊的存在，一直受到人们的关注和研究。无理数有多种定义，除m是无理数外,m与无理数共同组成了一个新的概念m,即有理数m。这个问题从广义上讲是关于有理数性质的一个理论问题，从狭义上讲是关于无理数性质的一个理论问题。研究好无有理数后其性质就不会有问题了。故笔者认为整理无有理数有重要的意义。
五、总结
无理数也存在一些未解性质，如1、4、7、11、14、21、32等。无理数一般是由有理数m被发现的;同时它也能作为一个有限域集合的一个子集来构造。

什么叫做无理数

　　有理数----有理数的定义是：只要能以分数形式表现出来的数，就是有理数(当然必须限定是分母、分子都是整数，且分母不得为0)。所以整数、有限小数、循环小数、及分数都是有理数。简单的说，就是：可以用分数表示的数。
　　无理数----无理数的定义刚好和有理数相反。无理数就是无法以单纯分数形式表示的数，例如无法开出的根号数(根号2、根号3...)，或是某些特定的无限(不循环)小数，例如大家熟知的圆周率。
　　大家都知道著名的圆周率π＝3．1415926……是个无限不循环的小数，可是大家知道像π这样无限不循环的小数又叫无理数吗？为什么叫无理数呢？关于无理数的发现还有个带有血腥味的故事呢。
　　公元前六世纪，古希腊有个数学权威叫毕达哥拉斯，他曾断言：任何两条线段相比，都可以用两个整数之比来表示，由此推导出，自然界只有整数和分数两种数，不存在其他的数。但毕达哥拉斯这个结论提出不久，他的学生希伯斯就发现边长为1的正方形，其对角线和边长不能成为整数比，即既不是整数，又不是分数，而是一个当时人们还未认识的数。希伯斯的发现触犯了毕达哥拉斯的权威。于是，毕达哥拉斯就下令封锁这个发现，不让其传播。可是，希伯斯的发现还是不胫而走，越来越多的人都知道了这一新数。毕达哥拉斯大为恼怒，就下令追捕希伯斯，最后在一条船上找到希伯斯，竟残忍地把希伯斯手脚捆住，扔进波涛汹涌的地中海。
　　希伯斯虽然葬身鱼腹，冤沉大海，但他的发现却为举世公认。由于人们当时不能理解这种新数，但这种新数（如圆周率π）在自然界的确大量客观存在，因而人们把这种数与已发现的整数、分数相比，将它取名为“无理数”，而将分数、整数称为“有理数”。
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现，而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯斯将无理数透露给外人因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
基本介绍
中文名 ：无理数
外文名 ：Irrational number
别称 ：无限不循环小数
提出者 ：希伯索斯
套用学科 ：数学
性质 ：不能用分数进行表示
对应概念 ：有理数
所属范围 ：实数
定义,历史,证明方法,拓展,实例,定义
在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。 常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。 可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。 无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、 等。 而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。历史
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。 公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相迳庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。 希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的构想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。 不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪义大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家克卜勒称之为“不可名状”的数。 然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 分数=有限小数+无限循环小数，无限不循环小数是无理数证明方法
欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法： 证明: √2是无理数 假设 不是无理数 ∴ 是有理数 令 ( 、 互质且 , ) 两边平方得 即 通过移项，得到： ∴ 必为偶数 ∴ 必为偶数 令 则 ∴ 化简得 ∴ 必为偶数 ∴ 必为偶数 综上， 和 都是偶数 ∴ 、 互质，且 、 为偶数 矛盾 原假设不成立 ∴ 为无理数拓展
证明 是无理数（整数 ） , 互素。 假设 则存在 则a为偶数，设 ， 为正整数 代人上式有 则b同样是偶数，与条件（ , ）为互质的最小整数是相互矛盾的 那么假设是不成立的 则 成立，那么 必为无理数。实例
如果正整数N不是完全平方数，那么 不是有理数（是无理数）。 证明：若假设 是有理数，不妨设 ，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。 设 的整数部分为a，则有不等式 成立。两边乘以q，得 因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。 再在上述不等式的两边乘以 ，得 即： 显然，qN-ap也是一个正整数。 于是我们找到了两个新的正整数 和 ，它们满足 ，即 ，并且有 。 重复上述步骤，可以找到一系列的 使得 且 。因该步骤可以无限重复，意味着 均可无限减小，但这与正整数最小为1矛盾。 因此假设错误， 不是有理数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
不能用两个整数的比的形式（即分数）表示的数叫做无理数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
扩展资料
无理数的发现：伟大的数学家毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少。是整数呢，还是分数。
毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数。世界上除了整数和分数以外还有没有别的数。这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数。
从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数，就是一个新数，当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。
参考资料来源：百度百科-无理数
参考资料来源：百度百科-希伯斯

无理数的概念是什么

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

无理数的概念 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
有理数和无理数的区别 （1）性质区别：
有理数是两个整数的比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数；无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。
（2）结构区别：
有理数是整数和分数的统称；无理数是所有不是有理数的实数。
（3）范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行；无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
无理数集及其他数集的符号 无理数集相当于实数集中有理数集的补集，实数集R，有理数集Q，所以无理数集合符号为CrQ。
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*，Z+或N+。
所有负整数组成的集合称为负整数集，记作Z-。
全体虚数组成的集合称为虚数集，记作I。
全体实数和虚数组成的复数的集合称为复数集，记作C。

无理数是什么？

无理数是什么?如下：
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的发现与早期的几何学发展有关。在古希腊时代，人们开始研究几何学，并尝试将几何学与算术联系起来。
在这个过程中，发现了一些无法用整数或分数表示的数，如正方形的一条对角线与边长之比。这些数的存在挑战了当时人们对数的认识，引发了一些数学难题和争议。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数，如π、e、√2等。这些数的小数部分无限不循环，无法被完全表达为一个有限小数或循环小数。
无理数具有无限不循环的小数形式，无法被完全表达为一个有限小数或循环小数。由于其小数部分无限且不循环，因此无理数在某些性质上与有理数不同。例如，无理数不具有任何有限的数学归纳法形式；相反，它们可以具有任意多的9，或者没有9。
无理数在数学中具有广泛的应用，特别是在几何学、代数和三角函数等领域。例如，在勾股定理中，斜边的长度无法用两个整数之比表示，因此是一个无理数。在三角函数中，π是一个重要的无理数，它出现在许多三角函数的计算和公式中。
除了以上解释之外，我们还可以通过一些实例来理解无理数的概念。最常见的无理数之一是圆周率π，它的值约为3.14159。
π是一个非常重要的数学常数，它出现在许多数学公式和物理定律中，如圆的周长公式C=πd和圆的面积公式A=πr2。另一个常见的无理数是自然对数的底数e，它的值约为2.71828。e在复利计算、自然指数函数和微积分等领域中有着广泛的应用。
虽然无理数在实数范围内占有很小的比例，但是它们在数学和科学领域中具有非常重要的应用价值。无理数的存在和特点丰富了数学的内涵和外延，同时也挑战了人们对数的认识和理解。从古希腊的数学家到现代的科学家，无理数一直是数学和科学领域中研究和探索的重要课题。

无理数的基本概念是什么

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。

一.无理数的基本概念
在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
二.无理数和有理数的区别
1.任何一个有理数均可以写成两个整数的比的形式。任何一个无理数均无法写成两个整数的比的形式。
2.有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。
3.有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。