本文目录一览：
- 1、欧拉公式怎么证明的？
- 2、如何证明欧拉公式？
- 3、欧拉公式证明是什么？
- 4、四边形的内角和是360度，这360度是怎么计算出来的？
- 5、欧拉公式证明是什么？
- 6、欧拉公式的证明
- 7、欧拉公式怎么推导？
- 8、欧拉公式推导
- 9、欧拉公式证明是什么？
- 10、欧拉公式的证明过程
欧拉公式怎么证明的？
用拓朴学方法证明欧拉公式
尝欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假 设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么
F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
证明 ：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证。
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等.
欧拉公式不是推导出来的，欧拉公式就是一个定义式！如下：
在复变函数中，设z是一个作为宗量（也就是自变量）的复数，则z=x+iy。则定义w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。请注意上式的几个等号的含义：第二个等号定义了有e^z这种形式的复变函数（具体是什么对应法则不清楚，只是告诉你有这么样的一个函数）；第三个等号不是新的定义，是等价替换；第四个等号是一个新的定义，定义了这个函数满足一个新的运算法则（指数之和可以拆分成两项之积，类似于实数）；第五个等号定义了欧拉公式，告诉你e^iy具体的对应法则！（这里可能有点不好理解，因为e^z是一个复变函数，那么e^z肯定是一个复数，那么它肯定也能用X+iY这样的形式表达出来，第五个等号就是给出了函数的对应法则！）
所以严格来说欧拉公式不是推导出来的，只是一个定义式！只不过当时没有直接定义，而是根据类比实数得出来的，然后才有了严格的定义。网上有好多人问欧拉公式怎么证明，其实这显示出了他们逻辑的混乱，没有正确区分类比演义，定义，定理，证明四者的关系。刚开始并没有欧拉公式这个严格的定义，最初的欧拉公式是人们通过类比实数得出的演绎结果罢了，然后才有了欧拉公式严格的定义。
其实，名字叫做欧拉公式的公式有很多。不过在几何学中，欧拉公式指的是——简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2。我们所学的几何体，如棱柱、棱锥等都是简单多面体。欧拉公式的证明方法很多。证法一：逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1。（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。证法二：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（展开图）,求所有面内角总和Σα（1）在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）（2）在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，则其内角和为(n-2)·1800 ，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V-2）·3600所以，V+F-E=2。
如何证明欧拉公式？
e^(iθ)=cosθ+isinθ
把θ=2π代入即可
证明可以用泰勒级数
由e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+..
以及
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+...
这是欧拉公式：复变函数论里的欧拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0。
欧拉公式证明是什么？
欧拉公式证明是在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler欧拉于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。
欧拉公式概况
欧拉公式是欧哈德欧拉在十八世纪创造的，是数学界最著名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。正如我们公式显示，左边是e，右边是cos和sin三角函数，两边都有虚数i。1714年，英国物理学家和数学家罗杰柯茨在一个公式中建立了对数、三角函数和虚数之间的关系。
四边形的内角和是360度，这360度是怎么计算出来的？
两个对角点联一条线，四边形就是2个三角形。一个三角形内角和是180度，2个就是360度。
四边形的内角和是360度这一结论是由欧拉公式证明出来的。欧拉公式是一种关于多面体（包括四边形）的几何定理，它表明多面体的顶点数、棱数和面数之间有着固定的关系。
对于四边形而言，欧拉公式为：顶点数加面数等于棱数加2（V + F = E + 2）。这个公式可以表示为：4 + F = 4 + E，其中4是四边形的顶点数，F是四边形的面数，E是四边形的边数。
由于四边形有4条边，因此它可以被划分为2个三角形。而三角形的内角和为180度，因此四边形的内角和为2 × 180度 = 360度。这个结论可以通过将四边形划分为三角形并计算每个三角形的内角和来证明。
因此，我们可以得出结论：四边形的内角和是360度，这个结果是由欧拉公式和三角形的内角和公式得出的。
欧拉公式证明是什么？
欧拉公式证明是：R+ V- E= 2。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，于1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler欧拉于 1752年又独立地给出证明 ，称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其为 Descartes定理。
欧拉让微积分长大成人：
恩格斯曾说，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中公开发表微积分学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。
18世纪一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为分析的广大领域。李文林说：欧拉就生活在这个分析的时代。
欧拉公式的证明
eix = 1 + i x - x2/2! - i x3/3! + x4/4! + i x5/5! + …
= (1 - x2/2! + x4/4! + …) + i (x - x3/3! + x5/5! + …)。
又因为：
cos x = 1 - x2/2! + x4/4! + …+。
sin x = x - x3/3! + x5/5! + …+。
所以eix = cos x + i sin x。
在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。
R+ V- E= 2就是欧拉公式。
欧拉公式怎么推导？
由欧拉推导出的等式
e^iπ +1=0
得：
e^iπ =-1
即，e的iπ次方等于-1。(i为虚数单位)。
推导：
公式 x^ni =cos(nlnx)+isin(nlnx)，令x=e，n=π得：
e^iπ =cosπ+isinπ=-1+0=-1
即
e^iπ +1 =0
(推导中所用的第一个公式也是欧拉推导出的，具体方法本人还不清楚)
默认为复变函数论里的欧拉公式e^ix=cosx+i sinx
e^ix=cosx+isinx的证明：
∵e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展开式中把x换成±ix.
(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 ……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
∴e^±ix=cosx±isinx
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，
cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
欧拉公式推导
欧拉公式推导介绍如下：
泰勒级数证明法:利用泰勒级数展开式展开e(ix)和cos(x)+i*sin(x)，然后将它们相等的系数进行比较，即可得出欧拉公式。
欧拉的介绍如下：
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。
13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。
他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。
瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。
欧拉曾任彼得堡科学院教授，是柏林科学院的创始人之一。他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点和根据确定的流体质点描述流体速度场。
欧拉公式证明是什么？
数学归纳法证明：
1、当R=2时，由说明1，这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R=2，V=2，E=2；于是R+V-E=2，欧拉定理成立。
2、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。
由说明2，我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。
在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点。
则该顶点保留，同时其他的边界数不变;若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是，在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：
1、减少一个区域和一条边界。
2、减少一个区域、一个顶点和两条边界。
3、减少一个区域、两个顶点和三条边界。
把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数中的天桥”。
欧拉公式的证明过程
分类: 教育/科学 >> 科学技术
解析:
如果还没有学高等数学的话，就不要思考这个问题，记住结果就行了。
一般采用傅立叶级数来计算，计算比较麻烦。
首先对y=x(0
然后取0点，得到0＝pi/4-2/pi*(1+1/3^2+1/5^2+....)
推出pi^2/8=1+1/3^2+1/5^2+...
令y=∑(1/n^2)
y1=∑(1/(1+2n)^2)
y2=∑(1/(2n)^2)
于是得y=4*y2
而y=y1+y2
于是y=4/3*y1=pi^2/6
这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过，但是没有结果，而欧拉运用他娴熟的数学技巧给出了如下的算法。他实际上采用了泰勒展开的方法。
已知sinZ=Z-Z^3/3!+Z^5/5!-Z^7/7!+……（在此，n!表示n的阶乘）
而sinZ=0的根为0，±π,±2π,……（π表示圆周率）
所以sinZ/Z=1-Z^2/3!+Z^4/5!-Z^6/7!+……的根为±π,±2π,……
令w=Z^2,则1-w/3!+w^2/5!-w^3/7!+……=0的根为π^2，（2π)^2，……
又由一元方程根与系数的关系知，根的倒数和等于一次项系数的相反数，得
1/π^2+1/（2π)^2+1/(3π)^2+……=1/3!
化简，得1+1/2^2+1/3^2+……＝π^2/6
欧拉将毫无关系的三角函数与级数放在一起，解决了多年没有结果的问题，他的数学运用能力可见一斑，我们不妨从他的实例中学习解题的方法技巧，有时大胆猜想也是一种不错的办法。
xiaoj3的泰勒展开式子都不对，又如何能够结论的呢？
欧拉公式的证明过程涉及到复数和三角函数的性质。
首先，我们知道对于任何实数x，都有e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
我们考虑单位圆在复平面上的表示。单位圆上的一个点可以表示为复数z = cos(x) + i*sin(x)。
现在，我们考虑单位圆上的一个点z，它可以表示为z = cos(x) + i*sin(x)。
然后，我们应用欧拉公式，得到e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
通过比较，我们可以发现e^(ix)和z是同一个复数，只是用了不同的表示方法。
因此，我们可以得出结论：e^(ix)和z是相等的复数。
这就证明了欧拉公式。
