行列式展开公式,行列式展开的公式是什么？

本文目录一览：

• 1、行列式展开公式
• 2、行列式展开的公式是什么？
• 3、行列式展开公式是什么？
• 4、行列式展开定理是什么？
• 5、三阶行列式展开式是什么？
• 6、n阶行列式展开公式推导
• 7、n阶行列式的展开式怎么写？
• 8、分块行列式的展开公式是什么样的？
• 9、行列式展开定理及推论公式

行列式展开公式

行列式展开公式：D=a11A11+a12A12+a13A13=aA11+bA12+cA13Aij。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式展开的公式是什么？

行列式按行展开的定理是拉普拉斯定理的一种简单情况，该行各元素分别乘以相应代数余子式求和，就等于行列式的值.
例如：D=a11·A11+a12·A12+a13·A13+a14·A14
Aij是aij对应的代数余子式
Aij=(-1)^(i+j)·MijMij是aij对应的余子式。（-1）^1+1=1
代数余子式前有(-1)的幂指数。
a11(-1)^(1十1)=1
所以A11=(-1)^(1+1)·M11=M11A14=(-1)^(1+4)·M14

行列式展开公式是什么？

行列式依行展开(expansion of a determinant by a row)是计算行列式的一种方法，设ai1，ai2，…，ain (1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。
如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用 。
注意：行列式计算有以下几种方法：①化成三角形行列式法、②降阶法、③拆成行列式之和法、④范德蒙行列式、⑤数学归纳法、⑥逆推法。
1、化成三角形行列式法：这种化成三角形行列式法在用的时候要求我们将某一个行或者是列全部的化成1，这样的话就能方便我们利用行列之间的关系将其转化为一个三角形行列式，从而可以求出来这个三角形行列式的值。
因为我们求的行列式的值之间的各个元素是相等的，各个元素之外也是相等的，这一点也是需要注意的，在使用的时候可以直接转化一下，做题就简单多了，这种也是一种十分明确的利用行列式的特点来简化行列式的方法。
2、降阶法：降阶法也是一种利用行列式的特点来简化行列式的方法之一，我们在使用的时候，利用行列式的性质将一个行或者一个列转化为一个非零的元素的时候，然后可以按照相关的展开行或者列，每当你展开一次，这就说明行列式降低了一阶，直到无法展开之后就是最简单的行列式降阶法了。
不过这一点只是适用于一些阶层比较低的行列式，针对于一些比较多阶的行列式是不可以使用的。

行列式展开定理是什么？

将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。
行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。
拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。
公式
设B= (bij)是一个n×n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。
B的（i，j）代数余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij与(1)i+j的乘积：Cij= (1)i+jMij。

三阶行列式展开式是什么？

按照第一列展开
=-1×
|0 2
2 0|
=-1×（-2×2）
=4
按《行列式展开定理》（拉氏定理），把行列式按某一行（或某一列）展开，即可把一个三阶行列式化为三个二阶行列式。
如：|(a11,a12,a13)(a21,a22,a23)(a31,a32,a33)| 【按第一行展开】
=a11*|(a22,a23)(a32,a33)| - a12*|(a21,a23)(a31,a33)| + a13*|(a21,a22)(a31,a32)|
扩展资料：
二阶行列式是四个数排成两行两列，用一种称为对角线法则计算得出的数，从左上角到右下角上元素相乘，取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，两个乘积的代数和就是二阶行列式的值。
二阶行列式指4个数组成的符号，其概念起源于解线性方程组，是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的，因此我们首先讨论解方程组的问题。行列式是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到。
参考资料来源：百度百科-二阶行列式

n阶行列式展开公式推导

n阶行列式展开公式推导回答如下：
行列式是一个重要的线性代数概念，n阶行列式的展开公式是通过对行列式的各种代数操作和性质的推导而来的。展开公式可以用于计算n阶行列式的值，它通常以代数余子式和元素的符号排组合的方式来表达。
下面是n阶行列式展开公式的推导，假设我们有一个n阶方阵A，它的行列式用|A|表示。
首先，回顾一下2阶和3阶行列式的情况，以便理解推导的思想。
对于2阶矩阵：
|A|=a11*a22-a12*a21
对于3阶矩阵：
|A|=a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)
考虑n阶矩阵A的第一行元素a11,a12,a13,...,an。我们可以选择任意一个元素ai（i=1,2,...,n）作为展开的第一个元素。对于选择的元素aij，我们将构造一个n-1阶子矩阵Mij，该子矩阵是通过从A中去掉第i行和第j列的所有元素得到的。
接下来，我们计算子矩阵Mij的行列式，记作|Mij|。然后，我们将这个行列式乘以元素aij，并乘以一个符号，该符号的选择基于i和j的奇偶性决定。通常，如果i+j的和是偶数，符号为正；如果i+j的和是奇数，符号为负。最后，我们将所有这些展开项相加，得到n阶行列式的值。
展开公式的一般形式如下：
|A|=a11*|M11|-a12*|M12|+a13*|M13|-...+(-1)^(n+1)*an1*|Mn1|
其中，Mij是去掉第i行和第j列的n-1阶子矩阵。
这个展开公式被称为"拉普拉斯展开"，它是一种递归方法，通过将大的行列式拆解为小的行列式，最终求得整个n阶行列式的值。这个方法在计算行列式的值时非常有用，尤其在高阶行列式的情况下。

n阶行列式的展开式怎么写？

13+23+……+n3=[n(n+1)/2]2
公式推导：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
http://zhidao.baidu.com/link?url=Tjp_VSuL3oseFuJPAj2q0lGfhVsJjmYgbwW4TWAnnWHiE5jKfRjhug1UfWB216oWhe2aHrYTwZYoewr4bqO3LcQ2dmIy-tFAQhxRVorQTiW

分块行列式的展开公式是什么样的？

分块行列式的计算公式可以通过以下步骤进行：
1. 将分块矩阵按照行或列进行展开。

a. 若是按行展开，则使用行展开公式，可记作：
| A B |
| C D | = | A 0 | | D -C |
| 0 I |
其中 A, B, C, D 分别是矩阵的分块部分，0 是指适当大小的零矩阵，I 是指适当大小的单位矩阵。

b. 若是按列展开，则使用列展开公式，可记作：
| A B |
| C D | = | A C | | D | | B |

其中 A, B, C, D 分别是矩阵的分块部分。
2. 对展开后的矩阵中的每个小矩阵计算行列式，然后按照展开的顺序进行乘法和加法运算。
按行或列展开分块矩阵，然后逐个计算小矩阵的行列式并进行运算，是分块行列式的计算公式的一般步骤。具体计算时，根据矩阵的具体形式和分块的方式进行展开运算。
分块行列式的展开公式是根据拉普拉斯定理得出的。假设有一个n阶分块行列式，其中每个分块都是一个方阵。展开公式如下：
对于n阶分块行列式：
$$
\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{vmatrix}
$$
其中，A、B、C、D都是方阵，A是p阶方阵，D是q阶方阵，p+q=n。
展开公式为：
$$\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
A & 0 \\
C & I \\
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
I & A^{-1}B \\
0 & D-CA^{-1}B \\
\end{vmatrix}
$$
其中，I是p阶单位矩阵。
展开公式的含义是，将原始的分块行列式分解为两个独立的行列式的乘积。第一个行列式是左上角的A和右下角的D-CA^{-1}B的行列式。第二个行列式是左下角的C和右上角的A^{-1}B的行列式。
展开公式的应用可以简化计算分块行列式的过程，将其分解为两个较小的行列式进行计算。

行列式展开定理及推论公式

行列式展开定理及推论公式介绍如下：
行列式展开定理即拉普拉斯展开定理，指的是如果行列式的某一行（列）是两数之和，则可把它拆分成两个行列式再求和。行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
比如：行列式
D=|a11 a12 a13 a14|
|a21 a22 a23 a24|
|a31 a32 a33 a34|
|a41 a42 a43 a44|
a23处在二行三列，从原行列式中划去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位排列构成的新行列式，称为它的余子式。（是一个比原来行列式低一阶的行列式）
行列式依列展开原理
在行列式计算中，我们经常利用行列式的展开把n阶行列式转化为n-1阶行列式，通过降阶逐步变为低阶行列式后进行计算。
但行列式按某一行或列展开时，只有在该行或列的元素有较多的零时，才能起到减少计算量的作用，因此往往先运用“化零”后进行“降阶”，利用行列式性质降低行列式阶数，然后计算行列式之值的方法称为降阶法。