本文目录一览：
- 1、如何利用拉普拉斯变换解微分方程，请问给出一个简单的例子？
- 2、拉普拉斯变换求解微分方程例题
- 3、开刷：《信号与系统》 Lec #20 拉普拉斯变换
- 4、拉普拉斯变换
- 5、复变函数的拉普拉斯变换的例题？
- 6、单位阶跃函数的拉氏变换怎么求的？
- 7、某系统传递函数为(s+1)(s^2+5s+6),试求其单位脉冲响应函数
- 8、一道极限问题，请问例题对么？
- 9、微分方程拉氏变换后可以约分吗
- 10、将下列矩阵表示成初等方阵的乘积
如何利用拉普拉斯变换解微分方程，请问给出一个简单的例子？
还是没有回答问题啊，我知道它是可以简化运算，可是为什么啊？为什么所有的微分方程都要跟e的指数有关？这才是拉氏变换可以用于解微分方程的原因：拉氏变换是一个以e的指数衰减的积分变换，而目前在教学中接触的初等微分方程的解一般都是e的指数，所以才能用拉氏变换简化。更复杂的方程要么解起来很难要么根本不可解，对那些方程拉氏变换已经没用了。
利用拉普拉斯变换解微分方程是运用拉普拉斯变换的线性性质和微分性质可将复杂的常微分方程运算过程简单化。
微分方程的拉普拉斯变换解法，其方法是：
1、先取根据拉氏变换把微分方程化为象函数的代数方程
2、根据代数方程求出象函数
3、再取逆拉氏变换得到原微分方程的解
为了说明问题，特举例.
例1：求方程y"+2y'-3y=e^(-t)满足初始条件y(0 )=0，y'(0 )=1的解。
求解过程如下。
拉普拉斯变换求解微分方程例题
第一步：两边同时做Laplace变换得：
L[y"-2y'+5y]=L[5x+8]
L[y"]-2*L[y]'+5*L[y]=5*L[x]+8*L[1]
第二步：求解出L[y]:
p^2L[y]-p*y(0)-y'(0)-2*[p*L[y]-y(0)]+5*L[y]=5/(p^2)+8/p
p^2L[y]-p*3-(-1)-2*[p*L[y]-(-1)]+5*L[y]=5/(p^2)+8/p
(p^2-2p+5)*L[y]-3p+1-2=5/(p^2)+8/p
(p^2-2p+5)*L[y]-3p+1-2=5/(p^2)+8/p
(p^2-2p+5)*L[y]=5/(p^2)+8/p+3p+1
L[y]=5/[(p^2)*(p^2-2p+5)]+8/[p*(p^2-2p+5)]+(3p+1)/(p^2-2p+5)
第三步：作Laplace逆变换,求出y
5/[(p^2)*(p^2-2p+5)]=5*L[x]*L[(e^t)*sin(2t)]的Laplace逆变换为
y1(x)=5*(x与(e^t)*sin(2t)的卷积),
8/(p*(p^2-2p+5)]=5*L[1]*L[(e^t)*sin(2t)]的Laplace逆变换为
y2(x)=8*(1与(e^t)*sin(2t)的卷积),
(3p+1)/(p^2-2p+5)的Laplace逆变换为
y3(x)=2(e^t)*[3cos(2t)+2sin(2t)],
则y(t)=y1(x)+y2(x)+y3(x).
开刷：《信号与系统》 Lec #20 拉普拉斯变换
课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。
视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。
p.417 - p.430
简单看完拉普拉斯变换推导之后，重点看下面的5个例题。
学习拉普拉斯变换，我建议先返回去再看一下当时学习傅里叶变换的笔记。能够利用傅里叶变换这一强大工具分析信号与LTI系统是因为很多种类的信号都可以表示为周期复指数信号的线性组合，而且复指数信号是LTI系统的特征函数(eigenfunction)。
当时学习连续时间傅里叶变换，我们将信号表示为形如 的复指数信号的线性组合，其中 。而实际上特征函数性质对任意 值都是适用的，而不局限于纯虚数。 推广开来，连续时间中有拉普拉斯变换，离散时间有z变换。
我们在学习傅里叶级数时知道，对于一个单位冲激响应为 的线性时不变系统，当输入为 时，输出为，
其中，
对于 为纯虚数情况，即 ， 就是 的傅里叶变换；对于一般复变量 ， 就称为 的拉普拉斯变换。
我们定义一个信号 的拉普拉斯变换如下，
和 的对应关系表示如下，
其中 ， 是它的实部， 是它的虚部。当 时，上式就变成了 的傅里叶变换，即
当 不是纯虚数时，拉普拉斯变换和傅里叶变换也有对应关系，用 代替 ，如下式，
上式的右边可以看成是 的傅里叶变换，换句换说， 的拉普拉斯变换可以看成是 乘以一个实指数信号以后的傅里叶变换。取决于 的正负，实指数信号 可能是衰减的也可能是增长的。
下面看课本上的两个例题，
例9.1 求 的拉普拉斯变换
这个信号非常常见，我们在学习傅里叶变换时做过它的傅里叶变换，其傅里叶变换在 时收敛，因为只有 才会使得信号 绝对可积。
现在来求其拉普拉斯变换，
用 代替 ，
可以看出上式就是 的傅里叶变换，于是可以得出，
因为 且 ，因此，
例9.2 求 的拉普拉斯变换
对于这个例子，若想保证收敛，需要 ，也就是 ，综上，
从例9.1和例9.2看出，如同并不是所有信号的傅里叶变换都收敛一样，拉普拉斯变换可能对某些 值收敛，而对另一些 值不收敛。例9.1中，拉普拉斯变换仅对 收敛，如果 为正值，那么 就能在 求值，从而得到，
这就是前面提到的，对于 ，拉普拉斯变换等于傅里叶变换。如果 是负的或者0，则拉普拉斯变换仍然存在而傅里叶变换不存在。
同时对比例9.1和例9.2的结果，我们发现不同的两个信号可能具有相同的拉普拉斯变换表达式，唯独拉普拉斯收敛域不同。 因此我们在给出一个信号的拉普拉斯变换时，一定要同时给出拉普拉斯变换表示式和其收敛域(Region of convergence, ROC)！！
收敛域的定义：使得拉普拉斯变换积分式收敛的 值的范围，也就是说，对于这些 来说， 的傅里叶变换收敛。下图就是例9.1和例9.2收敛域的s平面表示，
上图中阴影部分表示的就是收敛域了（能看的清吗。。），水平轴为 轴，纵轴为 轴。
再来看两个例子，以多了解一下拉普拉斯变换的收敛域。
例9.3
现在来确定收敛域，可以看出 是两个实指数信号的和，一个是 ，另一个是 ，根据例9.1我们知道，
为了让 的拉普拉斯变换收敛，那么就要保证上面这两个拉普拉斯变换都要收敛，也就是它们收敛域的交集，因此，
例9.4
先利用欧拉公式对 进行变形得到，
利用线性性质，可以将 表示为三个信号的拉普拉斯变换的和，那么，
为了使上面的三个拉普拉斯变换都收敛，那么 的收敛域就是它们的交集了，综上，
上面这4个例题，它们的拉普拉斯变换都可以表示成复变量 的两个多项式之比，即
其中 为分子多项式， 是分子英文Numerator的首字母， 是分母多项式， 是分母英文Denominator的首字母。只要 是实指数或复指数信号的线性组合， 就一定是有理的。
分子多项式的根称为 的零点，在s平面上用 表示零点的位置；分母多项式的根称为 的极点，在s平面上用 表示极点的位置。如下图所示是例9.3和例9.4的拉普拉斯变换s平面表示，
通过s平面内的极点和零点表示 被称为 的零-极点图。除了一个常数因子外，一个有理拉普拉斯变换的完全表征是由该变换的零极点图与它的收敛域一起组成的。
例9.3和例9.4中，分母多项式都比分子多项式阶次高了1阶，如果分母多项式的阶次高于分子多项式，那么 将随着 趋于无穷大而趋于零，所以例9.3和例9.4在无穷远处都有一个零点。相反，如果分母多项式的阶次低于分子多项式，差为 阶，那么在无穷远处有 阶极点。
例9.5
上式中，后两项的拉普拉斯变换可以利用例9.1的结果求出，现在求第一项的拉普拉斯变换，直接套用拉普莱斯变换的公式，
该拉普拉斯变换的分子多项式和分母多项式同阶次，所以无穷远处既没有极点也没有零点。其零极点图和收敛域如下图所示，收敛域在下图虚线右边，
回顾拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系，如果一个信号的拉普拉斯变换收敛域内包含 轴，那么该信号的傅里叶变换收敛，如果不包含，那其傅里叶变换就不收敛。如例9.5的信号的傅里叶变换就不收敛。
理解下面所列的收敛域的8个性质，
下面通过例9.8来说明收敛域和零极点图如何联系，
例9.8
图(a)为 的零极点图，分别位于 和 。图(b)是 为右边信号时的 的收敛域，收敛域位于最右边极点 的右边。图(c)是 为左边信号时的 的收敛域，收敛域位于最左边极点 的左边。图(d)是 为双边信号时的 的收敛域，收敛域如果存在的话就会位于左边极点和右边极点之间的带状区域。
为了笔记完整，我试着写一下上式的推导过程，因为 的拉普拉斯变换为
其中 在收敛域内，利用傅里叶逆变换有，
上式左右同时乘以 ，得
注意上式中，积分变量为 ，所以为了恢复 ，可以在收敛域内，固定 ，在 从 到 变化的这一组 值上求积分，即积分路径是一条s平面内满足 的直线，这条直线平行于 轴。用 代替 ， ，这样就得到了通过 得到 的拉普拉斯逆变换的公式，
这也太麻烦了。。。
一般求有理拉普拉斯逆变换的方法是展开 ，再根据收敛域，就可以确定其拉普拉斯逆变换，如例9.9.
例9.9
展开 ，
所以 有两个极点，又因为 的收敛域为 ，所以 的两项的收敛域的交集是 ，因为
所以得到
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换在数学，物理等自然科学中应用极其广泛，也非常重要，对其本质的理解我们都是基于课本上艰涩的公式，本视频用3D动画的形式直观的演示拉普拉斯变换的本质原理
1首先证明公式，这个公式可以通过数学归纳法来证明：也就是只要证明L(t*f(t))=dF(s)/ds;即是N=1成立，F(s)'=积分(d(f(t)*e^(-st))/ds)dt=-积分(t*f(t)*e^(-st))dt=-L[t*f(t)];显然数学归纳法就可以得到你要的结论：
直接差积分变换表是可以做你的题目的：6s/(s^2+9)^2 .差Laplace积分变换表可以得到：L[tsin(at)]=2as/(s^2+a^2)^2;对比表显然可以得到a=3,答案即是tsin(3t);
2.首先傅里叶系数不是通过通过积分变换得到的，它是利用三角函数的正交性，通过积分得到的，傅里叶变换和傅里叶级数展开是不同的，一个是对任意函数一是对周期函数所以两者不要搞混了，傅里叶级数的系数求解方法是
a0=1/L*积分(f(t)dt,-L,L)an=1/L*积分(f(t)cos(n*pi*t/L)dt,-L,L),bn=1/L*积分(f(t)sin(n*pi*t/L)dt,-L,L),n=1,2....
Laplace变换是在傅里叶变换的基础上发展起来的，有许多傅里叶没有的好的性质，但是他们有很大的差别，使用的范围是不同的。积分变换和函数展开成级数的系数是两个不同德概念，你不要搞混了我想第二个问题也就没有回答的必要了，如果还有什么问题可以Hi我1
不充：
指数形式的傅里叶级数表示，也称之为傅里叶级数的复数形式：
有欧拉公式可以知道：e^ix=cos(x)+isin(x),通过这个公式我们可以表达出sin(t),cos(t)的复指数表达形式，并把原先的傅里叶三角级数的表示用这个表达式转变成傅里叶的负指数表示，并建立了他们系数间的对应关系是式：
我们知道：f(x)=a0/2+sum(an*cos(n*pi*x/l)+bn*sin(n*pi*x/l)):
对上面的表达式利欧拉公式表示的sin(t),cos(t)复数表达式：
f(x)=a0/2+sum(an/2*(e^(i*n*pi*x/l) +e^(-i*n*pi*x/l))-i*bn/2*(e^(i*n*pi*x/l) -e^(-i*n*pi*x/l)))=a0/2+sum((an-i*bn)/2*e^(i*pi*n*x/l))+sum((an+i*bn)/2*e^(-i*pi*n*x/l))；
这时令cn=(an-i*bn)/2; c-n=(an+i*bn)/2;c0=a0/2;
那么原级数表示为：f(x)=sum(cn*e^(i*n*pi*x/l));
复变函数的拉普拉斯变换的例题？
他显然等于0啊，当t趋于0时，t^m->0，式子趋于0，当t趋于无穷大时，e^(-st)/t^m也趋于0
上下限都趋于0，当然等于0
单位阶跃函数的拉氏变换怎么求的？
①知识点定义来源&讲解：
单位阶跃函数（Unit Step Function）是一种数学函数，常用符号为u(t)或θ(t)。它在t=0时从0跃升到1，对于t<0时，u(t)的值为0；而对于t>=0时，u(t)的值为1。单位阶跃函数常用于描述系统的开关行为和时刻切换。
拉氏变换（Laplace transform）是一种数学变换方法，用于将一个时域函数转换为复平面上的复变量函数，通常用大写字母s表示。对于给定的函数f(t)，它的拉氏变换表示为F(s)。
②知识点运用：
单位阶跃函数的拉氏变换常用于控制系统、信号处理和电路分析等工程应用中。通过将单位阶跃函数进行拉氏变换，可以方便地分析系统对输入信号的响应和稳定性。
③知识点例题讲解：
以求取单位阶跃函数u(t)的拉氏变换为例：
1. 单位阶跃函数为：
u(t) = 0, t < 0
= 1, t >= 0
2. 将单位阶跃函数 u(t)与拉氏变换的定义进行匹配，得到积分形式为：
U(s) = ∫[0,∞) e^(-st) u(t) dt
3. 根据单位阶跃函数的定义，在积分计算中，t从0到∞分为两个部分：
U(s) = ∫[0,∞) e^(-st) dt，t>=0
= 0，t<0
4. 对积分进行计算，得到：
U(s) = ∫[0,∞) e^(-st) dt，t>=0
= [-1/s * e^(-st)] [0,∞)
= [-1/s * e^(-s∞)] - [-1/s * e^(-s0)]
= 0 - (-1/s)
= 1/s
因此，单位阶跃函数 u(t) 的拉氏变换为 U(s) = 1/s。
这个例子说明了单位阶跃函数的拉氏变换的过程。通过将单位阶跃函数进行拉氏变换，可以得到复平面上的函数表达式，用于分析系统的响应和性质。
过程如下，望采纳，有意见欢迎交流～
阶跃函数u（t）为：
自变量取值大于0时，函数值为1
自变量取值小于0时，函数值为0
扩展资料
通常计算起来更容易把一个真正的函数的拉普拉斯变换复数领域的变量和执行各种操作，然后反转的拉普拉斯变换结果在实数领域找到相应的结果比找到相同的结果直接在实数域。
拉普拉斯变换的这一运算步骤对于求解线性微分方程特别有效，可以将其处理成易于求解的代数方程，从而简化了计算。
在经典控制理论中，控制系统的分析和综合都是基于拉普拉斯变换的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点是可以用传递函数代替微分方程来描述系统的性质。
某系统传递函数为(s+1)(s^2+5s+6),试求其单位脉冲响应函数
楼主你好,系统的单位脉冲响应的拉普拉斯变换恰好是其传递函数(因为F(deta(t))=1)
因此对(s+1)/(s^2+5s+6)求反拉氏变换即可得到脉冲响应的时域表达式
反拉氏变换使用部分分式展开法,即展开成A/(s+2)+B/(s+3)之后再反拉氏变换即可
一道极限问题，请问例题对么？
变量要同时取极限，不能只看一部分
用拉普拉斯变换来做
例题没问题，是你想错了。
x→1- 时，x-1 →0-，1/(x-1) → - ∞，e^ [1/(x-1)] → 0
所以：(x+1) e^ 1/(x-1) →2× 0=0
微分方程拉氏变换后可以约分吗
可以约分的。
积分变换】利用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程
奔跑的小蜗牛RLS
热爱编程、数学和物理的大学生一枚
拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。
利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 为变量的函数变换到以 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 的函数变换回关于 的函数，就完成了微分方程的求解。
不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：
表示对 进行拉普拉斯变换的结果是 ，反之， 表示的是对 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 .
常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：
拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， . 逆变换也具有线性性质。
对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： ，整理一下就能得到 .
微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：
式中的 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。
百闻不如一见，来看例题。
先来一个简单的例题。
例1：求解微分方程
解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即
得到 .
第二步，带入初值 ，得到 .
第三步，求解 .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 。
第四步，变形，凑公式形式，把上面我们解出来的 想办法变成上面常用拉普拉斯变化对右侧部分的线性组合。这里我们只需要把 改写为 ，即 .
这样，我们就得到了 .
第五步，进行拉普拉斯逆变换，即 .
利用线性性质可以进一步变形得到 .
这时候就可以直接用公式了，很容易就可以得到 .
这样我们就解完了这个微分方程，很容易验证这个结果是正确的。
下面我们再来看一个稍微难一点的例题。
例2：求解微分方程 .
方程两侧同时进行拉普拉斯变换（其中的 看作是 的0阶导函数）并带入初值，得
解得
利用公式 可以进一步得到：
.
两边同时进行拉普拉斯逆变换，得到
.
这一步逆变换是这样进行的：把 看作 ,然后就可以利用 这个公式进行逆变换，其中a=-1。
总结一下，利用拉普拉斯变换解微分方程的步骤如下：
①对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，其中的F(s)就是我们要求的原函数经过拉普拉斯变换的结果；
②带入初值条件；
③把要求的原函数F(s)用关于s的表达式g(s)表达；
④对③中得到的F(s)=g(s)两侧进行拉普拉斯逆变换即可得到微分方程的解。
将下列矩阵表示成初等方阵的乘积
首先要知道初等变换能用初等矩阵来表示，然后做一步Gauss消去法（行初等变换）
[1 2; 3 4] = [1 0; 2 1] * [1 3; 0 -2]
再把[1 3; 0 -2]第二行的-2提出来就行了，即
[1 3; 0 -2] = [1 0; 0 -2] * [1 3; 0 1]
一般的可逆阵分解成初等阵的乘积也这样做，结果的形式是A=PLDU，P是一系列行交换，L和U是一系列第三类初等变换，D是一系列的第二类初等变换。
应用
（1）在解线性方程组中的应用
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。
（2）用于求解一个矩阵的逆矩阵
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
第（3）题，分解矩阵为初等矩阵的乘积：
下一张图的题如下
