本文目录一览：
- 1、所有自然数之和为什么是-112而不是其它数值？
- 2、黎曼函数是什么
- 3、最美公式——黎曼猜想
- 4、函数x^2的黎曼积分表达式？
- 5、黎曼猜想
- 6、黎曼设想的黎曼猜想
- 7、黎曼猜想到底是什么意思？
- 8、函数所有的符号有哪些？
- 9、定积分的定义是什么？
所有自然数之和为什么是-112而不是其它数值？
所有自然数之和=-1/12证明过程如下：
表达式"所有自然数之和等于-1/12"在数学中并不准确地表示一个等式。实际上，自然数之和是无穷大，不可能等于一个有限的负数。然而，在数学中，我们可以使用一种名为"黎曼 zeta 函数"的工具来分配一个数值给某些无限级数，例如自然数之和的级数。
黎曼 zeta 函数定义如下：ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + ...其中 s 是复数。当实部 s 的值大于 1 时，这个级数是收敛的。当 s 的实部小于等于 1 时，级数在实数轴上是发散的。然而，黎曼在复平面上分析并扩展了这个函数。在这个扩展中，黎曼定义了一个复数 s = -1，并使用解析继续的概念来找到黎曼 zeta 函数在这个点上的值。
通过使用复数解析继续的方法，黎曼得到了一个结果，即当 s = -1 时：ζ(-1) = -1/12这个结果在数学中具有重要的应用，例如在量子场论和字符串理论中。然而，需要注意的是，这个结果不能被简单地理解为"所有自然数之和等于-1/12"。它只是一个通过数学方法得到的特殊结果。
因此要详细解释为什么所有自然数之和等于-1/12是不准确的，因为自然数之和是无穷大，并且在数学中并没有严格的定义。相反，黎曼 zeta 函数的特殊解析继续给出了一个特殊结果，即ζ(-1) = -1/12。这只是一个数学上的结果，而不是关于自然数之和的直接结论。
学数学的意义
1、发展逻辑思维和问题解决能力：数学是一门精确、严谨的学科，它培养了逻辑思维和推理能力。通过学习数学，我们可以锻炼分析和解决问题的能力，培养思考的清晰性和准确性。
2、提升抽象思维和数学建模能力：数学是一门抽象的学科，通过学习数学，我们能够训练抽象思维能力，将现实问题转化为数学模型，提取其中的关键特征，进而进行数学推理和求解。
3、培养创造性和创新能力：数学是一门富有创造性的学科。通过解决数学问题，我们可以培养自己的创造性思维，寻找新的方法和角度来解决问题，培养实践中的发现和创新能力。
黎曼函数是什么
简介
黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
此函数在微积分中有着重要应用。
定义
R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数；
R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。
性质
定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。
推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
证明：函数可积性的 ...
黎曼函数证明
定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε...展开>
zee0 | 2012-10-28
3
0
黎曼函数：当X在[0，1]区间时，当X=P/Q时（P/Q为既约真分数），R（X）=1/Q；
当X=0或1时，R（X）=0。
黎曼函数是黎曼构造的一个特殊函数，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
黎曼函数：定义在[0，1]上，
R(x)=1/q, 当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)，
R(x)=0,当x=0，1和(0，1)内的无理数.
黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。在部分英文参考文献中，黎曼函数也被称为Thomae's function，
此函数在微积分中有着重要应用。
黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。在部分英文参考文献中，黎曼函数也被称为Thomae's function此函数在微积分中有着重要应用。黎曼函数定义在[0，1]上，R(x)=1/q, 当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)，R(x)=0,当x=0，1和(0，1)内的无理数.
黎曼猜想是指：黎曼函数定义在[0，1]上，R(x)=1/q, 当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)，R(x)=0,当x=0，1和(0，1)内的无理数。简介：黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。在部分英文参考文献中，黎曼函数也被称为Thomae's function此函数在微积分中有着重要应用。黎曼函数定义在[0，1]上，R(x)=1/q, 当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)，R(x)=0,当x=0，1和(0，1)内的无理数.性质：定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
最美公式——黎曼猜想
猜想内容
黎曼观察到，素数的 频率 紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
黎曼ζ 函数 ζ(s) 是 级数 表达式[8]
在 复平面 上的 解析延拓 。
之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于 复平面 上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则 级数 不 收敛 ）。黎曼找到了这一表达式的 解析延拓 （当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代 复变函数论 术语）。运用 路径积分 ，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：[8]
揭示黎曼手稿中zeta函数的真相 ．百度文库．2015-08-16[引用日期2015-12-19]
黎曼几何(riemannian geometry)是 非欧几何 的一种，亦称“ 椭圆几何 ”。德国数学家 黎曼 ，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
1. Millennium Problems ．克雷数学研究所[引用日期2015-08-21]
2. 尼日利亚教授成功解决世界著名难题黎曼猜想 ．网易新闻[引用日期2015-11-21]
3. 数学领域的头号难题——黎曼假设是否已被解决 ．光明网[引用日期2016-03-16]
4. Dr Enoch Did Not Prove The Riemann Hypothesis. ．?airaland Forum[引用日期2016-03-16]
5. 论小于某给定值的素数的个数（黎曼提出黎曼猜想的原始论文）——谢国芳译注 ．语数之光[引用日期2015-08-21]
函数x^2的黎曼积分表达式？
∫e^（x^2）dx
=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx
=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2
=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c
=（x-1/2）e^（x^2）+c
对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
扩展资料：
积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
黎曼猜想
黎曼ζ 函数
黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。 这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？ 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ 函数。 这个函数虽然挂着黎曼的大名， 其实并不是黎曼首先提出的。 但黎曼虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念黎曼的卓越贡献， 就用他的名字命名了这一函数。 那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为： 这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。 运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式： ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对黎曼ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的黎曼猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想， 在这里我们先把它的内容表述一下， 然后再叙述它的来笼去脉：
黎曼猜想
黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。 在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 这就是黎曼猜想的内容， 它是黎曼在 1859 年提出的。 从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题， 但我们很快将会看到， 它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
黎曼设想的黎曼猜想
运用右上角图中的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式：ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想。Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。这就是 Riemann 猜想的内容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。从其表述上看， Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。证明黎曼猜想的尝试黎曼1859年在他的论文 über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr??e' 中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ? + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。1896年，雅克·阿达马和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第8号问题。当被问及若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时，希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。(Derbyshire 2003:197; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16). 黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = ?上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线 Re(s) = ? 上的平均密度。近几十年的工作集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。过去数十年很多数学家队伍声称证明了黎曼猜想，而截至2007年为止有少量的证明还没被验证。但它们都被数学社群所质疑，而专家们多数并不相信它们是正确的。艾希特大学的 Matthew R. Watkins 为这些或严肃或荒唐的声明编辑了一份列表，而一些其它声称的证明可在arXiv数据库中找到。
黎曼猜想到底是什么意思？
2018年，89岁高龄的菲尔兹奖得主迈克尔·阿蒂亚爵士举行了最后一次公开的数学报告：
这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个月，老爷子就溘然长逝。
这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进行审查。哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破方向，这在数学史上也层出不穷。留待学界、时间来检验吧。
但是，黎曼猜想：
? 函数的所有非平凡零点的实部都是
到底说了什么，能让这位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它发起冲锋；让一代代的数学家为之魂系梦绕（大数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第一件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。
逝者安息，生者传承，下面就以我们的方式尽量数普一下黎曼猜想，把老爷子这份执着传递一二，把无数数学家的这份执着传递一二...
1 素数
大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数称为 素数（Prime Number），比如 2，3，5，7，11...
我们知道素数是无穷的（ 欧几里得定理 ），也可以通过 埃拉托斯特尼筛法 筛出有限个的素数：
但对于素数的整体了解依然非常少，素数似乎是完全随机地掺杂在自然数当中的一样，下面是1000以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧，877，881，883，887又突然连着出现4个素数，和10以内的素数个数一样多）：
别说素数的精确分布了，就是随机抽取一个足够大的自然数出来，要检验它是否是素数都需要经过一番艰苦的计算。
以研究素数为核心的数论，在数学家眼中就是：
你可能会有疑问，研究素数干嘛？可以改善生活吗？提高寿命吗？粮食增产吗？移民火星吗？
当然可以给出现实的理由，比如流行的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的一些理论。但是随着了解的深入，我发现对于数学家而言这些根本不重要，不足以构成驱使他们前进的动力。正如有人询问著名登山家乔治·马洛里“为什么要登山”，马洛里回答道：“因为山在那里”：
数学家研究素数的理由很简单，因为它在那里。数论可能才是最纯粹的数学，才是数学的初心
2 素数计数函数
先根据之前给出的素数表绘制一个函数图像：
纵坐标表示的是 以内素数的 个数。比如从图像上可以看出：
这个意思就是10 以内有4个素数（我们知道分别是2，3，5，7）。这个? 被称为 素数计数函数。（Prime-counting function）。
得到素数的精确分布目前还属于天方夜谭，数学家就退而求其次，想知道 到底是多少？这就是几千年来素数研究的核心问题。
3 素数定理
高斯和勒让德猜测：
后来又有改进的猜测：
把这三个函数图像放在一起，看上去好像确实可以看作近似，并且后者近似还要好一些：
这两个猜测尤其是后者，都可以称为 素数定理 （The Prime Theory），只是此时还没有证明。
4 《论小于一个给定值的素数的个数》
格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一：
1859年黎曼被任命为柏林科学院的通讯院士，作为见面礼，黎曼提交了他唯一关于数论的论文，也是唯一完全不包含几何概念的论文，《论小于一个给定值的素数的个数》：
这篇论文总共只有 9页 ，却可以名列最难读的论文之列（黎曼显然高估了阅读者的水平，其中不少结论都没有给出证明，因为他觉得不证自明、一目了然。但是事实是，比如其中证明的一小步，都花费了后人46年的时间才证明出来），同时又是素数研究领域最重要的一篇论文。
听这个论文的名字也知道这篇论文是关于 的，确实，在这篇文章中，黎曼居然给出了素数计数函数的准确表达式：
先不管这个函数的细节，看到没，黎曼压根就没有理会什么素数定理，直接给出了 的精确表达式，这就是王霸之气，不玩擦边球，来就直捣黄龙，解决主帅。
5 黎曼猜想
的表达式并不简单。想想也可以理解，要是初等数学就可以解决的问题，很可能早就被欧拉、高斯这两位数学守门员（形容不要想在这两位大神手里捡漏）给征服了。
重复一下， 长这样：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
这个函数分为两部分：? ??
黎曼素数计数函数：就是式子中的 ，下面是它的代数表达式:
实际上是黎曼给出的对 的近似，也称作? 黎曼素数计数函数? ，这个代数表达式的含义之后会细说
修正项：也就是：
? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?称为莫比乌斯函数，具体的代数表达式如下：
整个式子的意思: 通过修正项调整之后，黎曼给出的素数计数函数 就完全等于 。
5.1? 函数与非平凡零点
要把 介绍清楚，先得引入一个? ?函数:
? ??????????????????????????????????????????????
为什么自变量用 ，不用 呢？因为这是定义在复数域上的函数，即 ，而复数域习惯用 来表示自变量（之前介绍过，实数的问题如果解决不了， 可以尝试升维到复数中去 ）。
如果尝试解下面与? 函数相关的方程：
? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????
这个方程的解有无数多个，可以分为两类：
1.平凡解： ，也就是所有负偶数。这个解看上去就比较简单，也很容易求，所以叫做平凡解，也叫做 函数的平凡零点。
2.非平凡解： ，也就是复数解。这类解就很复杂，现在都没有求出所有的解，而且估计求出这所有解的难度不亚于求出素数的精确分布，目前只是通过暴力运算求出了一些。所以叫做非平凡解，也叫做 函数的 非平凡零点。
至此，黎曼猜想中最重要的两个名词都出现了： 函数、非平凡零点。
5.2 黎曼素数计数函数
好，回头再来看 :
? ??????????
这个函数有4部分：
1. :这个是之前提到过的，关于 的一个近似
2. :??? 就是指的 函数的非平凡零点，就是把所有非平凡零点的? ?加起来
3. :? ?这是一个常数
4.? :? ? ?越大，这项越趋近于0，在时取得最大值 ，也不是很重要
之前也说了， 本身就是对 的近似，从下面动图也可以看出，越多的非平凡零点 参与运算（通过暴力计算得到）， 越贴合 ，近似效果比素数定理要好得多：
5.3 黎曼猜想
通过上面的分析，如果可以知道 函数的所有非平凡零点 ，那么就可以得到精确的 。但是非平凡零点 求解的难度似乎不亚于得到素数精确分布的难度，怎么办？
如果知道 的范围也可以（下面 表示 的实部）：
1. 如果 :那么素数定理成立，这已经被证明了，历史上素数定理最初也是据此证明出来
2.如果 : 其实就是黎曼猜想的另外一种描述。
如果黎曼猜想成立的，那就可以证出：
? ??????????????????????????????????????????????????????
也就是知道素数定理中的 到底与真正的 有多大的误差。
证明了黎曼猜想就在素数分布上进了一大步。但这只是开始，离真正的素数分布还差得很远。
6 《素数之恋》
希望大家读完这篇文章可以对黎曼猜想有一个粗糙的了解，当然还有很多的疑问：
? ?????? 函数的非平凡零点 怎么就和素数的分布有关系？
? ?????? 函数是怎么扩张到复数域的？
????????为什么黎曼会猜想 ？
? ?????? 怎么就长那个样子？
? ?????? 定义成这样有什么动机？
????????关于非平凡零点 目前我们知道哪些？
????????.......
你可以把这篇文章看作一个大纲，或者《素数之恋》的读书笔记，所有的细节基本上都可以在这本书中找到。这本书也是我觉得写得最好的关于黎曼猜想的书。
7 写在后面的
黎曼这篇天才论文开辟了一个时代，其中很多结论虽然未经证明，但对于数学家这不啻于一座宝藏。
黎曼其人，出生贫寒，又遇上欧洲动荡、秩序重建，贵族自身难保，使得他很难像以往天才数学家一样可以获得贵族的资助。贫病交加之下黎曼40岁就因肺结核去世。仿佛天妒英才，上帝好像不想让人类过早地就拆穿了它所有的秘密。
如果黎曼活得长一些，说不定黎曼猜想就可以在他自己手中解决。不过不管怎样，素数的秘密，正如希尔伯特所说，“我们必须知道，我们必将知道”：
原文链接? 马同学高等数学-黎曼猜想到底是什么意思?
函数所有的符号有哪些？
在中学范围
函数记号：f(x),g(x),…,F(x),G(x),…
①对数函数符号
一般对数函数符号log
常用对数函数符号lg
自然对数函数符号ln
②三角函数符号
正弦函数符号sin
余弦函数符号cos
正切函数符号tan
余切函数符号cot
正割函数符号sec
余割函数符号csc
③反三角函数符号
反正弦函数符号arc sin
反余弦函数符号arc cos
反正切函数符号arc tan
反余切函数符号arc cot
2.在大学范围(数学分析范畴)
①常见函数符号
中学范围的函数符号,再添上：
（义自然对数的底数为底数的）指数函数符号exp
双曲正弦函数符号sinh
双曲余弦函数符号cosh
双曲正切函数符号tanh
反双曲正弦函数符号arsinh
反双曲余弦函数符号arcosh
反双曲正切函数符号artanh
②特殊函数符号
符号函数符号sgn
取整函数函数符号 [ ]
狄利克雷（Dirichlet）函数符号D
黎曼（Riemann）函数符号R
伽玛（Gamma）函数符号Γ
函数在数学中可以用很多不同的符号来表示。常见的包括以下几种：
1. f(x)：这是最常见的函数表示方法，其中f是函数名，x是函数的自变量。
2. g(y)、h(z)等等：类似于f(x)，只是函数名和自变量的名字不同。
3. y = f(x)：这表示函数的值y是由自变量x决定的。
4. Σ：这是求和符号，通常在函数中表达一系列数值的求和。
5. ∫：这是积分符号，常用在表示连续区间的函数总值。
6. ?：这是偏导数符号，用于表示多变量函数如何随一个变量的改变而改变。
7. δ, ε：在极限和微分等情况中常见到的，表示接近于0的极小量。
8. λ：在函数式编程和泛函分析等领域中使用，表示匿名函数。
9. ∞：这是无穷的符号，常常用来表示函数的定义域、值域或极限情况。
以上是常见的一些符号，实际应用中还有很多其他特殊的符号，会根据不同情境使用。
1.在中学范围
函数记号：f(x),g(x),…,F(x),G(x),…
①对数函数符号
一般对数函数符号log
常用对数函数符号lg
自然对数函数符号ln
②三角函数符号
正弦函数符号sin
余弦函数符号cos
正切函数符号tan
余切函数符号cot
正割函数符号sec
余割函数符号csc
③反三角函数符号
反正弦函数符号arc sin
反余弦函数符号arc cos
反正切函数符号arc tan
反余切函数符号arc cot
2.在大学范围(数学分析范畴)
①常见函数符号
中学范围的函数符号,再添上：
（义自然对数的底数为底数的）指数函数符号exp
双曲正弦函数符号sinh
双曲余弦函数符号cosh
双曲正切函数符号tanh
反双曲正弦函数符号arsinh
反双曲余弦函数符号arcosh
反双曲正切函数符号artanh
②特殊函数符号
符号函数符号sgn
取整函数函数符号 [ ]
狄利克雷（Dirichlet）函数符号D
黎曼（Riemann）函数符号R
伽玛（Gamma）函数符号Γ
在数学中，函数可以使用不同的符号来表示。以下是一些常见的函数符号：
1. 小写字母表示函数名：例如，f(x)、g(x)、h(x)。通常，小写字母用于表示一般的函数。
2. 大写字母表示函数名：例如，F(x)、G(x)、H(x)。大写字母通常用于表示特定的函数，如积分函数或累积分布函数。
3. 特定符号表示特殊函数：例如，sin(x)表示正弦函数，cos(x)表示余弦函数，log(x)表示对数函数，exp(x)表示指数函数。这些特殊函数通常使用特定的数学符号来表示。
4. 函数表达式或方程：函数可以使用表达式或方程来表示，例如 y = x^2，y = sin(x)。
5. 函数符号：有时，使用特定的符号或记号来表示函数，例如 f : A B 表示函数f将A中的元素映射到B中的元素。
这些只是一些常见的函数符号和表示方法，实际上函数可以以许多不同的方式来表示，具体取决于上下文和使用约定。
函数中常见的符号包括：
1. 变量符号：通常使用字母表示，如x、y、z等。这些符号表示函数的自变量或因变量。
2. 函数名符号：通常使用字母表示，如f、g、h等。这些符号表示函数本身，用于表示函数的定义或引用。
3. 括号符号：函数表达式通常使用括号来标识，如f(x)、g(x, y)等。括号用于包围自变量，在函数表达式中起到分组或参数传递的作用。
4. 运算符号：函数表达式中可以包含各种数学运算符号，如加法符号（+）、减法符号（-）、乘法符号（*）、除法符号（/）、指数符号（^或**）等。这些符号用于表示函数中的数学运算。
5. 等号符号：通常使用等号（=）表示函数的定义或方程的等式关系，如f(x) = x^2，表示函数f的定义为x的平方。
6. 限定符号：函数中常见的限定符号包括求和符号（Σ）、积分符号（∫）、求导符号（d/dx）、极限符号（lim）等。这些符号用于表示特定的运算或数学概念。
这只是函数中常见的符号示例，具体使用的符号在数学和工程领域中可能会有所不同。根据具体的上下文和约定，也可能使用其他符号来表示函数和运算。
定积分的定义是什么？
是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分正式名称是黎曼积分，是一个数学定义，分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
积分基本公式
1、∫0dx=c
2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c
3、∫1/xdx=ln|x|+c
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5、∫e^xdx=e^x+c
6、∫sinxdx=-cosx+c
7、∫cosxdx=sinx+c
8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
