本文目录一览：
- 1、平面向量的公式总结
- 2、高中数学 平面向量 公式大全
- 3、平面向量的所有公式
- 4、平面向量所有的公式
- 5、平面向量的所有公式
- 6、平面向量 的所有公式
- 7、平面向量的运算公式
- 8、平面向量公式？
- 9、求全部的平面向量的计算公式
平面向量的公式总结
关于平面向量的公式总结如下：
1、向量的模长公式
向量的模长是指向量的长度，它可以用勾股定理求得。设向量a=(x,y)，则a的模长为la=V(x+y3)。
2、向量的加法公式
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则atb=(x1+X2,y1+y2)。
3、向量的减法公式
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。设向量a=(xiy1)和向量b=(2,y2)，则a-b=(1-2,y-y2)。
4、向量的数量积公式
向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量。设向量a=(X1,y1)和向量b=(xz,y2)，则a·b=x1X2+yiy2。
5、向量的向量积公式
向量的向量积是指将两个向量相乘得到一个新的向量。设向量a=(x1,y1)和向量b=(X2,y2)，则axb=(0,0,Xy2-Xzy1).
6、向量的投影公式
向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度。设向量a=(X1,y1)和向量b=(X2,Y2)，则a在b上的投影长度为alcos，其中0为a和b的夹角。
7、向量的夹角公式
向量的夹角是指两个向量之间的夹角。设向量a=(x,y1)和向量b=(xz,y2)，则a和b的夹角为cos=(a·b)/(lallbl)。
以上就是平面向量的一些重要公式，它们在向量的运算中起着重要的作用。在实际应用中，我们可以根据这些公式来求解各种向量问题，如求两个向量的夹角、求向量的模长等。
高中数学 平面向量 公式大全
1、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a（交换律）；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
2、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
3、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
4、定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
5、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a?b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
亲。。。
可以给个满意么
1、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a（交换律）；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
2、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
3、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
4、定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
5、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a?b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
亲。。。
可以给个满意么
一、平面向量公式：设a=（x，y），b=（x'，y'）。
1、向量的加法
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。0的反向量为0
AB-AC=CB。即“共同起点，指向被减”
a=（x，y）b=（x'，y'）则a-b=（x-x'，y-y'）
二、平面向量，垂直，平行平移等的关系：
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a?b=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量。
比较：
共线向量与平行向量关系
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。
平行向量与相等向量的关系
相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。只用这两个向量长度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含着向量平行的含义。
平面向量的所有公式
1加法
向量加法的三角形法则已知向量ab，向量bc，再做向量ac则向量ac叫做ab，bc的和，记作ab+bc，即有ab+bc=ac
1、加法
向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
2、减法
AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。
扩展资料：
物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
参考资料来源：百度百科-平面向量
平面向量所有的公式
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?6?1∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)?6?1b=λ(a?6?1b)=(a?6?1λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?6?1b。若a、b不共线，则a?6?1b=|a|?6?1|b|?6?1cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?6?1b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a?6?1b=x?6?1x'+y?6?1y'。
向量的数量积的运算律
a?6?1b=b?6?1a（交换律）；
(λa)?6?1b=λ(a?6?1b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)?6?1c=a?6?1c+b?6?1c（分配律）；
向量的数量积的性质
a?6?1a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?6?1b=0。
|a?6?1b|≤|a|?6?1|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?6?1b)?6?1c≠a?6?1(b?6?1c)；例如：(a?6?1b)^2≠a^2?6?1b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?6?1b=a?6?1c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?6?1b|≠|a|?6?1|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?6?1|b|?6?1sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?6?1向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?6?1向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a?6?1b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
平面向量的所有公式
向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。
下面介绍运算性质时，将统一作如下规定：任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
加法
已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
减法
AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。
数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)
设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：
(λμ)a= λ(μa)
(λ + μ)a= λa+ μa
λ(a±b) = λa± λb
(－λ)a=－(λa) = λ(－a)
|λa|=|λ||a|
数量积
已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
平面向量 的所有公式
1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则
AB+BC=AC；a+b=(x+x'，y+y')；a+0=0+a=a
2、向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
3、向量的减法：如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0；AB-AC=CB，即“共同起点，指向被减”；a=(x，y) b=(x'，y') 则 a-b=(x-x'，y-y')。
扩展资料：
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
平面向量的运算公式
当向量A的终点于向量B的始点相接时,以A的始点为始点,B的终点为终点所构成的向量C,叫做向量B与向量B的和向量,以为C=A+B.此为向量的加法
设a=（x，y）
b=(x'，y')
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则
AB+BC=AC
a+b=(x+x'，y+y')
a+0=0+a=a
向量加法的运算律
交换律：a+b=b+a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量
那么a=-b
b=-a
a+b=0
0的反向量为0
AB-AC=CB
即“共同起点，指向被减”
a=(x,y)
b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y')
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量
记作λa
且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣
当λ＞0时
λa与a同方向
当λ＜0时
λa与a反方向
当λ=0时
λa=0，方向任意
当a=0时
对于任意实数λ
都有λa=0
注：按定义知
如果λa=0
那么λ=0或a=0
实数λ叫做向量a的系数
乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
当∣λ∣＞1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣＜1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb
数乘向量的消去律：①
如果实数λ≠0且λa=λb
那么a=b
②
如果a≠0且λa=μa
那么λ=μ
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a
b
作OA=a
OB=b
则角AOB称作向量a和向量b的夹角
记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量
记作a?b
若a、b不共线
则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉
若a、b共线
则a?b=+-∣a∣∣b∣
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'
向量的数量积的运算律
a?b=b?a（交换律）
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方
a⊥b
〈=〉a?b=0
|a?b|≤|a|?|b|
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律
即：(a?b)?c≠a?(b?c)
例如：(a?b)^2≠a^2?b^2
2、向量的数量积不满足消去律
即：由
a?b=a?c
(a≠0)
推不出
b=c
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由
|a|=|b|
推不出
a=b或a=-b
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量
记作a×b
若a、b不共线
则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉
a×b的方向是：垂直于a和b
且a、b和a×b按这个次序构成右手系
若a、b共线
则a×b=0
向量的向量积性质
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积
a×a=0
a‖b〈=〉a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=-b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
（a+b）×c=a×c+b×c
注：向量没有除法
“向量AB/向量CD”是没有意义的
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
①
当且仅当a、b反向时
左边取等号
②
当且仅当a、b同向时
右边取等号
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
①
当且仅当a、b同向时
左边取等号
②
当且仅当a、b反向时
右边取等号
定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点
P是l上不同于P1、P2的任意一点
则存在一个实数
λ
使
向量P1P=λ?向量PP2
λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比
若P1（x1,y1)
P2(x2,y2)
P(x,y)
则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)
（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ)
y=(y1+λy2)/(1+λ)（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA
+μOB
且λ+μ=1
则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中
若GA
+GB
+GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ
使a=λb
a//b的重要条件是
xy'-x'y=0
零向量0平行于任何向量
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是
a?b=0
a⊥b的充要条件是
xx'+yy'=0
零向量0垂直于任何向量
平面向量公式？
平面向量的坐标运算
1、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a（交换律）；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
2、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
3、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
4、定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
5、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a?b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
求全部的平面向量的计算公式
9.平面向量
(1)平面向量基本定理，如果e1、e2是同一平面内非共线向量，那么该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.
①两个向量平行的充要条件
a∥b?a＝λb
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
a∥b＝x1x2－y1y2＝0
②两个非零向量垂直的充要条件
a⊥b?a·b＝0
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
a⊥b＝x1x2＋y1y2＝0
θ＝〈a，b〉.
cosθ＝x1x2＋y1y2/x21＋y21
x22＋y22
(2)数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉＝θ
①a·e＝e·a＝|a|cosθ；②当a，b同向时，a·b＝|a||b|，特别地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；③a⊥b?a·b＝0；④非零向量a，b夹角θ的计算公式：cosθ＝，当θ为锐角时，a·b＞0，且ab不同向，a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且ab不反向，a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件；⑤|a·b|≤|a||b|.
