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虚数是什么？
虚数可以表示为z=a+bi(a、b∈R),当a=0,b≠0时就表示的是纯虚数。
【扩展】
虚数就是其平方是负数的数。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。
1777年瑞士数学家欧拉(或译为欧勒)开始使用符号i[其中i=√(-1)]表示虚数的单位，后来人们将虚数和实数有机地结合起来，写成a+bi形式，其中a称为该虚数的实部，b称为该虚数的虚部，且a、b均为实数，当复数的实部为0且虚部不为0时,平方是负数的数定义为纯虚数
即为已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数 当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。
负数是纯虚数的充要条件：
1：z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数<=>a=0且b≠0
2:z是纯虚数<=>z+z'=0且z≠0
3: z是纯虚数<=>z2<0
什么是虚数
虚数：
1、平方为负数的数。
2、所有的虚数都是复数。
3、“虚数”这个名词是由十七世纪著名数学家笛卡尔创制。
4、在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。
5、所有的虚数都是复数。
6、虚数没有算术根。
7、实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。
8、虚数没有正负可言。
9、不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。
虚数是怎么定义的？
一个实数乘以i称为纯虚数，例如5i 就是一个纯虚数。
在复数域中，负数-1的平方根记为i(即i2=-1)，称为虚数或虚数单位。
从复数相等的定义知道，任何一个复数都可以用一个有序实数对(a，b)唯一确定，可以用建立直角坐标系的平面来表示复数。
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，这样，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
扩展资料
在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i2 = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。
可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b*i分别被称为复数的实部和虚部。虚数表示具有非零虚部的任何复数。
参考资料来源：百度百科——纯虚数
参考资料来源：百度百科——虚数
虚数的概念
虚数的概念是表示一个数与实数相对，成为复数的组成部分。由意大利数学家卡瓦列里提出，并被用于描述一些难以用实数表示的量。
虚数的概念主要基于对复数的理解。复数是由实部和虚部组成的，其中虚部可以是正数、负数或零。虚数的单位是i，表示想象的数。例如，z=a+bi是复数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
虚数在解决一些数学问题中非常有用，例如在物理学、工程学和其他学科中。例如，在交流电中，电压和电流通常用复数表示，其中虚部表示相位差。虚数还被用于量子力学和信号处理等领域。
虽然虚数在实际应用中非常重要，但它们在实数范围内并不具有直接的数值表示。虚数通常在复平面上表示，其中实轴表示实部，虚轴表示虚部。因此，虚数通常用于计算和公式推导，而不是直接进行数值计算。
虚数是复数的重要组成部分，它们在解决一些数学问题中非常有用，并在许多学科中得到广泛应用。虽然虚数在实数范围内没有直接的数值表示，但它们在复平面上具有清晰的几何意义，为我们提供了描述和处理复杂量的有力工具。
学习虚数概念时的注意事项：
1、理解虚数的定义：虚数是一个数，其平方根是负数。它被定义为i，其中i是虚数单位。要理解虚数的定义，并知道虚数与实数之间的关系。
2、掌握虚数的运算规则：虚数的运算不同于实数，需要遵循特殊的运算规则。例如，两个虚数相加得到仍是虚数，实部和虚部分别相加；两个虚数相乘得到仍是虚数，实部和虚部分别相乘。要熟练掌握虚数的运算规则，避免混淆。
3、理解虚数的几何意义：虚数在复平面上有对应的几何意义，实部和虚部分别对应于复平面上的横轴和纵轴。要了解虚数与几何意义之间的联系，有助于深入理解虚数的概念。
4、注意虚数的应用场景：虚数通常用于描述一些难以用实数表示的量，例如在物理学、工程学和其他学科中。要了解虚数在这些领域中的应用场景和作用，有助于加深对虚数概念的理解。
5、培养对虚数的直觉：对于一些初学者来说，虚数可能是一个抽象的概念。然而，通过练习和经验积累，可以逐渐培养对虚数的直觉。要尝试将虚数应用于实际问题中，以加深对虚数的理解。
什么是虚数？
虚数定义
在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。
对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。
虚数的由来
随着数学的发展，数学家发现一些 三次方程的实数根还非得用负数的平方根表示不可。而且，如果承认了负数的平方根，那么代数方程的有无根问题就可以得到解决，并且会得出n次方程有n个根这 样一个令人满意的结果。此外，对负数的 平方根按数的运算法则进行运算，结果也是正确的。
意大利数学家卡尔丹作出一个折中表示，他称负数的平方根为 “虚构的数”，意思是，可以承认它为数，但不像实数那样可以表示实际存在的 量，而是虚构的。到了 1632年，法国数学家笛卡儿，正式给了负数的平方根一个 大家乐于接受的名字——虚数。
虚数的虚字表示它不代表实际的 数，而只存在于想象之中。尽管虚数是 “虚”的，但数学家却没有放松对它的研 究，他们发现了关于虚数的许许多多的性 质和应用。
大数学家欧拉提出了 “虚数单位”的概念，他把U 作为虚数单位，用符号i表示，相当于实数的单位1。虚数有了单位，就能像实数 一样，写成虚数单位倍数的形式了。
从此，数学家把实数与虚数同等对待，并合称为复数，于是，数的家族得到 了统一。任何一个复数可以写成a+bi的 形式，当b=0时a+bi=a,它就是实数，当 b#0时，a+bi就是虚数了。
“在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴。
这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。”
虚数的基本概念
虚数的基本概念如下：
在数学中，虚数就是形如a+b×i的数，其中a，b是实数，且b≠0，i2=-1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b×i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b可对应平面上的纵轴，这样虚数a+b×i可与平面内的点(a,b)对应。
可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a+b×i的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。
定义：
在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i2=-1。
但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi，也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。
扩展知识：
正数：
正数（positive number），全称正实数，是数学术语，像+3、+1.5、+584等大于0的数，叫做正数。0既不是正数，也不是负数。正数与负数表示意义相反的量。
正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如?2，代表的就是2的相反数。在数轴线上，正数都在0的右侧，最早记载正数的是中国古代的数学著作《九章算术》。
在算筹中规定"正算赤，负算黑"，就是用红色算筹表示正数，黑色的表示负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
负数：
负数（negative number），全称负实数，是数学术语，像?3、?1.5、?1/2、?584等在正数前面加“?”号的数，叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。负数与正数表示意义相反的量。负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“?”和一个正数标记，如?2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。
一个负数是其绝对值的相反数。在数轴线上，负数都在0的左侧，最早记载负数的是中国古代的数学著作《九章算术》。在算筹中规定"正算赤，负算黑"，就是用红色算筹表示正数，黑色的表示负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
整数：
整数（integer），是正整数、零、负整数的集合。整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。如果不加特殊说明，所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。整数可以看作分母为1的分数。
自然数：
自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。
虚数的概念
虚数的定义是一个数学概念，它是指一个数，它的平方是负数。
某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。
复数是什么如下：
当z的虚部b=0时，则z为实数;当z的虚部b≠0时，实部a=0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数在很多的方面有着应用例如：
1、量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。
2、相对论中如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量(Metric) 方程。
3、信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。
扩展资料：
一、加法法则
复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
二、乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
三、复数的发展史
1、1545年，意大利有名的数学“怪杰”卡丹第一次认真讨论这种数，当时复数被他称为“诡辩量”，几乎过了100年，笛卡儿才给这种“虚幻之数”取了一个名字：虚数.但又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”。
2、并用i(imaginary，即虚幻的缩写)来表示它的单位，后来德国的数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用。
3、1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a+bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了它.看来复数从发展到最终被人们承认，的确经过了一个漫长坎坷的过程。
虚数是啥
虚数是复数系统中的一种数学概念。
虚数单位：
虚数是由虚数单位i定义的，虚数单位i定义为：[i=\sqrt{-1}]。虚数单位i的平方等于负一。这是一个重要的性质，因为在实数系统中，无法找到一个数的平方等于负数。
复数的形式：
复数通常以以下形式表示：
[z=a+bi]，其中，z表示一个复数，a是复数的实部（real part），b是复数的虚部（imaginary part），而i是虚数单位。
复平面：
虚数通常在复平面中表示。复平面是一个以实部为横坐标，虚部为纵坐标的平面。在复平面中，一个复数z=a+bi可以表示为一个点，该点的横坐标是实部a，纵坐标是虚部b。这种表示法使得复数的运算变得更加直观。
虚数的应用领域：
一、电路分析与工程：
1、交流电路分析：虚数用于描述交流电路中的电压和电流，以及电阻、电感和电容等元件的阻抗和相位差。这对于分析和设计电路非常重要。
2、滤波器设计：虚数在滤波器设计中用于确定频率响应和滤波器的带宽。虚数阻抗和相位信息有助于理解滤波器的性能。
3、信号处理：虚数用于傅里叶变换中，将信号分解成不同频率分量，这在音频处理、图像处理和通信系统中都有应用。
二、量子力学：
1、波函数：量子力学中的波函数通常是复数，其虚部包含了粒子的相位信息。波函数描述了粒子的概率分布和相位。
2、量子态：量子态也可以用虚数表示，它们描述了量子系统的状态。虚数部分包含了量子干涉和量子纠缠等现象的信息。
虚数是怎样定义的？
虚数和复数是数学中的两个概念，并且它们之间存在密切的关系。
复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为 a + bi，其中 a 是实部（实数），b 是虚部（虚数），而 i 是虚数单位，满足 i2 = -1。例如，2 + 3i 就是一个复数，其中 2 是实部，3i 是虚部。
虚数是不具备实际意义的数，因为其无法表示在实数轴上的位置。但虚数在数学和物理学等领域具有重要的应用。虚数的平方总是负数，即 i2 = -1。
虚数与复数之间的关系可以通过复数的共轭运算来揭示。复数的共轭是指保持实部相同但虚部取相反数的操作。例如，对于复数 a + bi，它的共轭是 a - bi。共轭运算用于计算复数的模长（绝对值）和幅角等相关属性。
总结起来，复数是由实部和虚部组成的数，而虚数则是一种特殊的复数，指的是虚部不为零的复数。复数可以表示在复平面上的点，其中实轴表示实部，虚轴表示虚部。虚数单位 i 的引入使得复数可以描述更为丰富和广泛的数学和物理现象。
